ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 782

Дано: $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{3}{4}$. Так как $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, то $\sin \alpha \neq 0$. Разделим числитель и знаменатель исходной дроби на $\sin^2 \alpha$: $$ \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha} = \frac{\dfrac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha}}{\dfrac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}} $$ Упростим полученные выражения в числителе и знаменателе, учитывая, что $\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{ctg} \alpha$: $$ \frac{\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}{\dfrac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \dfrac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}} = \frac{\operatorname{ctg} \alpha}{1 - \operatorname{ctg}^2 \alpha} $$ Подставим известное значение $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{3}{4}$: $$ \frac{\frac{3}{4}}{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{\frac{3}{4}}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{7}{16}} $$ Выполним деление дробей: $$ \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{7} = \frac{3 \cdot 4}{7} = \frac{12}{7} = 1\frac{5}{7} $$ Ответ: $\frac{12}{7}$ (или $1\frac{5}{7}$).