ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 781

### 1) Упростим выражение: $$ \frac{\sqrt{2} - \cos x - \sin x}{\sin x - \cos x} $$ Преобразуем выражения $\cos x + \sin x$ и $\sin x - \cos x$, используя метод вспомогательного угла: $$ \cos x + \sin x = \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x\right) = \sqrt{2} \left(\cos x \cos \frac{\pi}{4} + \sin x \sin \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) $$ $$ \sin x - \cos x = \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right) = \sqrt{2} \left(\sin x \cos \frac{\pi}{4} - \cos x \sin \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) $$ Подставим полученные формулы в исходную дробь: $$ \frac{\sqrt{2} - (\cos x + \sin x)}{\sin x - \cos x} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)}{\sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)} = \frac{\sqrt{2}\left(1 - \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)}{\sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)} = \frac{1 - \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)}{\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)} $$ Применим формулы половинного аргумента $1 - \cos \alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2}$ и $\sin \alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$ для $\alpha = x - \frac{\pi}{4}$: $$ \frac{1 - \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)}{\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)} = \frac{2\sin^2\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}\right)}{2\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}\right)\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}\right)} = \frac{\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}\right)}{\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}\right)} = \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}\right) $$ Ответ: $\operatorname{tg}\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}\right)$ --- ### 2) Упростим выражение: $$ \frac{1 + \cos x + \sin x + \operatorname{tg} x}{\sin x + \cos x} $$ Заменим $\operatorname{tg} x$ по определению: $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Преобразуем числитель методом группировки: $$ 1 + \cos x + \sin x + \operatorname{tg} x = (1 + \cos x) + \left(\sin x + \frac{\sin x}{\cos x}\right) $$ Вынесем $\sin x$ за скобки во второй группе слагаемых: $$ (1 + \cos x) + \sin x \left(1 + \frac{1}{\cos x}\right) = (1 + \cos x) + \sin x \cdot \frac{\cos x + 1}{\cos x} $$ Вынесем общий множитель $(1 + \cos x)$: $$ (1 + \cos x)\left(1 + \frac{\sin x}{\cos x}\right) = (1 + \cos x) \cdot \frac{\cos x + \sin x}{\cos x} = \frac{(1 + \cos x)(\sin x + \cos x)}{\cos x} $$ Подставим полученное выражение для числителя в исходную дробь: $$ \frac{\frac{(1 + \cos x)(\sin x + \cos x)}{\cos x}}{\sin x + \cos x} = \frac{(1 + \cos x)(\sin x + \cos x)}{\cos x(\sin x + \cos x)} $$ Сократим дробь на ненулевой множитель $(\sin x + \cos x)$: $$ \frac{1 + \cos x}{\cos x} = \frac{1}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = \frac{1}{\cos x} + 1 $$ Ответ: $\frac{1 + \cos x}{\cos x}$ (или $\frac{1}{\cos x} + 1$)