ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 778

**1)** Упростим выражение: $$ \cos^2(\alpha + 2\beta) + \sin^2(\alpha - 2\beta) - 1 $$ Воспользуемся формулами понижения степени: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ и $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$. Подставим их в исходное выражение: $$ \frac{1 + \cos(2\alpha + 4\beta)}{2} + \frac{1 - \cos(2\alpha - 4\beta)}{2} - 1 $$ Приведём слагаемые к общему знаменателю: $$ \frac{1 + \cos(2\alpha + 4\beta) + 1 - \cos(2\alpha - 4\beta) - 2}{2} = \frac{\cos(2\alpha + 4\beta) - \cos(2\alpha - 4\beta)}{2} $$ Применим формулу разности косинусов $\cos u - \cos v = -2\sin\frac{u + v}{2}\sin\frac{u - v}{2}$: $$ \cos(2\alpha + 4\beta) - \cos(2\alpha - 4\beta) = -2\sin\left(\frac{2\alpha + 4\beta + 2\alpha - 4\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{2\alpha + 4\beta - (2\alpha - 4\beta)}{2}\right) = -2\sin 2\alpha \sin 4\beta $$ Подставим полученный результат в дробь: $$ \frac{-2\sin 2\alpha \sin 4\beta}{2} = -\sin 2\alpha \sin 4\beta $$ Ответ: $-\sin 2\alpha \sin 4\beta$. --- **2)** Упростим выражение: $$ \sin^2(\alpha + 2\beta) + \sin^2(\alpha - 2\beta) - 1 $$ Применим формулу понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$: $$ \frac{1 - \cos(2\alpha + 4\beta)}{2} + \frac{1 - \cos(2\alpha - 4\beta)}{2} - 1 $$ Приведём к общему знаменателю: $$ \frac{1 - \cos(2\alpha + 4\beta) + 1 - \cos(2\alpha - 4\beta) - 2}{2} = \frac{-\left(\cos(2\alpha + 4\beta) + \cos(2\alpha - 4\beta)\right)}{2} $$ Применим формулу суммы косинусов $\cos u + \cos v = 2\cos\frac{u + v}{2}\cos\frac{u - v}{2}$: $$ \cos(2\alpha + 4\beta) + \cos(2\alpha - 4\beta) = 2\cos\left(\frac{2\alpha + 4\beta + 2\alpha - 4\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{2\alpha + 4\beta - (2\alpha - 4\beta)}{2}\right) = 2\cos 2\alpha \cos 4\beta $$ Подставим полученный результат в дробь: $$ \frac{-2\cos 2\alpha \cos 4\beta}{2} = -\cos 2\alpha \cos 4\beta $$ Ответ: $-\cos 2\alpha \cos 4\beta$.