ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 777

**№ 777** Упростим выражение: $$ \sin(x - 2\pi)\cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) + \operatorname{tg}(x - 2\pi)\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) $$ Применим свойства тригонометрических функций (периодичность) и формулы приведения к каждому множителю отдельно: 1. Используя периодичность синуса (период равен $2\pi$): $$ \sin(x - 2\pi) = \sin(x - 2\pi + 2\pi) = \sin x $$ 2. По формуле приведения (угол $\frac{3\pi}{2} - x$ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен, а функция меняется на кофункцию): $$ \cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\sin x $$ 3. Используя периодичность тангенса (период равен $\pi$, следовательно, и $2\pi$): $$ \operatorname{tg}(x - 2\pi) = \operatorname{tg} x $$ 4. По формуле приведения (угол $\frac{3\pi}{2} + x$ находится в четвертой четверти, где тангенс отрицателен, а функция меняется на котангенс): $$ \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\operatorname{ctg} x $$ Подставим полученные выражения в исходное выражение: $$ \sin x \cdot (-\sin x) + \operatorname{tg} x \cdot (-\operatorname{ctg} x) $$ Упростим каждое слагаемое, учитывая, что $\operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x = 1$ при $x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$: $$ -\sin^2 x - \operatorname{tg} x \operatorname{ctg} x = -\sin^2 x - 1 = -(1 + \sin^2 x) $$ Ответ: $-\sin^2 x - 1$ (или $-(1 + \sin^2 x)$).