ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 72

**1)** При $A = 2$, $\omega = 1$, $\varphi = \frac{\pi}{4}$ формула силы переменного тока принимает вид: $$ I = 2 \sin\left(t + \frac{\pi}{4}\right) $$ Исследуем функцию для построения её графика: 1. **Амплитуда колебаний:** $A = 2$, следовательно, область значений функции есть отрезок $[-2; 2]$. 2. **Период функции:** $$ T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi $$ 3. **Сдвиг по фазе:** Запишем аргумент синуса в виде $\left(t + \frac{\pi}{4}\right)$. Начало периода соответствует условию $t + \frac{\pi}{4} = 0$, то есть $t = -\frac{\pi}{4}$. График получается из графика функции $I = 2\sin t$ сдвигом влево вдоль оси времени $t$ на $\frac{\pi}{4}$. 4. **Характерные точки одного периода $\left[-\frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}\right]$:** * Нули функции ($I = 0$): $$t + \frac{\pi}{4} = 0 \implies t = -\frac{\pi}{4}$$ $$t + \frac{\pi}{4} = \pi \implies t = \frac{3\pi}{4}$$ $$t + \frac{\pi}{4} = 2\pi \implies t = \frac{7\pi}{4}$$ * Максимум ($I = 2$): $$t + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \implies t = \frac{\pi}{4}$$ * Минимум ($I = -2$): $$t + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} \implies t = \frac{5\pi}{4}$$ * Пересечение с осью ординат ($t = 0$): $$I(0) = 2 \sin\frac{\pi}{4} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \approx 1{,}41$$ Таблица значений: | $t$ | $-\frac{\pi}{4}$ | $0$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{3\pi}{4}$ | $\frac{5\pi}{4}$ | $\frac{7\pi}{4}$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $I$ | $0$ | $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ | $2$ | $0$ | $-2$ | $0$ | **Построение:** * На горизонтальной оси $t$ выбираем масштаб (например, 2 клетки = $\frac{\pi}{4}$, тогда 8 клеток = $\pi$). * На вертикальной оси $I$ откладываем значения амплитуды от $-2$ до $2$ (например, 2 клетки = 1 единица). * Отмечаем найденные характерные точки и соединяем их плавной синусоидальной волной, продолжая график периодически с шагом $T = 2\pi$. --- **2)** При $A = 1$, $\omega = 2$, $\varphi = \frac{\pi}{3}$ формула силы переменного тока принимает вид: $$ I = \sin\left(2t + \frac{\pi}{3}\right) $$ Для удобства построения вынесем коэффициент при переменной $t$ за скобки: $$ I = \sin\left(2\left(t + \frac{\pi}{6}\right)\right) $$ Исследуем функцию для построения её графика: 1. **Амплитуда колебаний:** $A = 1$, следовательно, область значений функции есть отрезок $[-1; 1]$. 2. **Период функции:** $$ T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{2} = \pi $$ 3. **Преобразование графика:** График $I = \sin t$ сжимается к оси ординат в 2 раза (получается $I = \sin 2t$) и смещается влево вдоль оси $t$ на $\frac{\pi}{6}$. 4. **Характерные точки одного периода $\left[-\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}\right]$:** * Нули функции ($I = 0$): $$2t + \frac{\pi}{3} = 0 \implies t = -\frac{\pi}{6}$$ $$2t + \frac{\pi}{3} = \pi \implies 2t = \frac{2\pi}{3} \implies t = \frac{\pi}{3}$$ $$2t + \frac{\pi}{3} = 2\pi \implies 2t = \frac{5\pi}{3} \implies t = \frac{5\pi}{6}$$ * Максимум ($I = 1$): $$2t + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} \implies 2t = \frac{\pi}{6} \implies t = \frac{\pi}{12}$$ * Минимум ($I = -1$): $$2t + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2} \implies 2t = \frac{7\pi}{6} \implies t = \frac{7\pi}{12}$$ * Пересечение с осью ординат ($t = 0$): $$I(0) = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87$$ Таблица значений: | $t$ | $-\frac{\pi}{6}$ | $0$ | $\frac{\pi}{12}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{7\pi}{12}$ | $\frac{5\pi}{6}$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $I$ | $0$ | $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ | **Построение:** * На горизонтальной оси $t$ выбираем удобный шаг делений, кратный $\frac{\pi}{12}$ (например, 1 клетка = $\frac{\pi}{12}$, тогда 12 клеток = $\pi$). * На вертикальной оси $I$ отмечаем отрезок $[-1; 1]$ (например, 2 клетки = 1 единица). * Наносим полученные ключевые точки и соединяем их плавной синусоидой, повторяя рисунок с периодом $T = \pi$.