ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 69

### 1) Решение системы уравнений $$ \begin{cases} y = 2\sin x, \\ y = \log_{\frac{1}{3}} x \end{cases} $$ Число решений системы равно числу корней уравнения: $$ 2\sin x = \log_{\frac{1}{3}} x $$ 1. **Область допустимых значений (ОДЗ):** Логарифмическая функция определена при $x > 0$. 2. **Оценка множества значений:** Для тригонометрической функции: $$-2 \le 2\sin x \le 2$$ Следовательно, равенство возможно только при тех $x$, для которых: $$-2 \le \log_{\frac{1}{3}} x \le 2$$ $$\left(\frac{1}{3}\right)^2 \le x \le \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}$$ $$\frac{1}{9} \le x \le 9$$ При $0 < x < \frac{1}{9}$ имеем $\log_{\frac{1}{3}} x > 2 \ge 2\sin x$ — решений нет. При $x > 9$ имеем $\log_{\frac{1}{3}} x < -2 \le 2\sin x$ — решений нет. 3. **Исследование на отрезке $\left[\frac{1}{9}; 9\right]$:** Пусть $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$ — строго убывающая функция, $g(x) = 2\sin x$. * **Промежуток $\left[\frac{1}{9}; \pi\right]$:** * При $x = \frac{1}{9}$: $f\left(\frac{1}{9}\right) = 2$, а $g\left(\frac{1}{9}\right) = 2\sin\left(\frac{1}{9}\right) < 2$, то есть $g\left(\frac{1}{9}\right) < f\left(\frac{1}{9}\right)$. * При $x = 1$: $f(1) = 0$, а $g(1) = 2\sin 1 > 0$, то есть $g(1) > f(1)$. * На отрезке $\left[\frac{1}{9}; 1\right]$ функция $f(x)$ строго убывает, а $g(x)$ возрастает, следовательно, на интервале $\left(\frac{1}{9}; 1\right)$ существует **ровно 1 корень**. * При $x \in [1; \pi]$: логарифм неположителен ($f(x) \le 0$), а синус неотрицателен ($g(x) \ge 0$), причём нули функций не совпадают ($f(x) = 0$ при $x = 1$, а $g(x) = 0$ при $x = \pi$). Значит, на $[1; \pi]$ корней нет. * **Промежуток $[\pi; 2\pi]$:** * При $x = \pi$: $g(\pi) = 0$, а $f(\pi) = \log_{\frac{1}{3}}\pi \approx -1{,}05 < 0 \implies g(\pi) > f(\pi)$. * При $x = \frac{3\pi}{2} \approx 4{,}71$: $g\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -2$, а $f\left(\frac{3\pi}{2}\right) = \log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{3\pi}{2}\right) \approx -1{,}41 > -2 \implies g\left(\frac{3\pi}{2}\right) < f\left(\frac{3\pi}{2}\right)$. * При $x = 2\pi \approx 6{,}28$: $g(2\pi) = 0$, а $f(2\pi) = \log_{\frac{1}{3}}(2\pi) \approx -1{,}66 < 0 \implies g(2\pi) > f(2\pi)$. * Непрерывная функция $h(x) = g(x) - f(x)$ меняет знак на интервале $\left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right)$ и на интервале $\left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right)$, что даёт **2 корня** (по одному на каждом из этих интервалов). * **Промежуток $[2\pi; 9]$:** Так как $2\pi \approx 6{,}28$ и $3\pi \approx 9{,}42$, для всех $x \in [2\pi; 9]$ угол $x$ лежит в первой и второй четвертях, где $\sin x \ge 0$, то есть $g(x) \ge 0$. Логарифмическая функция при $x > 1$ отрицательна: $f(x) < 0$. Значит, на $[2\pi; 9]$ корней нет. Всего получаем $1 + 2 = 3$ корня. Ответ: 3 решения. --- ### 2) Решение системы уравнений $$ \begin{cases} y + 1 = -\sin x, \\ y = \sqrt[3]{x} \end{cases} $$ Выразим $y$ из первого уравнения и приравняем ко второму: $$ \sqrt[3]{x} = -1 - \sin x $$ 1. **Оценка множества значений:** Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то: $$-2 \le -1 - \sin x \le 0$$ Следовательно, точки пересечения графиков возможны только при: $$-2 \le \sqrt[3]{x} \le 0 \iff -8 \le x \le 0$$ При $x > 0$: $\sqrt[3]{x} > 0 \ge -1 - \sin x$ — решений нет. При $x < -8$: $\sqrt[3]{x} < -2 \le -1 - \sin x$ — решений нет. 2. **Исследование на отрезке $[-8; 0]$:** Пусть $f(x) = \sqrt[3]{x}$ — строго возрастающая функция, $g(x) = -1 - \sin x$. * **Интервал $\left[-\frac{\pi}{2}; 0\right]$:** * При $x = -\frac{\pi}{2} \approx -1{,}57$: $f\left(-\frac{\pi}{2}\right) \approx -1{,}16$, а $g\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1 - (-1) = 0 \implies f\left(-\frac{\pi}{2}\right) < g\left(-\frac{\pi}{2}\right)$. * При $x = 0$: $f(0) = 0$, а $g(0) = -1 \implies f(0) > g(0)$. * Так как $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает на $\left[-\frac{\pi}{2}; 0\right]$, здесь существует **ровно 1 корень**. * **Отрезок $\left[-\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$:** Для всех $x \in \left[-\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$ имеем $f(x) \le \sqrt[3]{-\frac{\pi}{2}} \approx -1{,}16$, а $g(x) \ge -1$. Неравенство $f(x) < g(x)$ выполняется на всем отрезке, корней нет. * **Интервал $\left[-\frac{3\pi}{2}; -\pi\right]$:** * При $x = -\pi \approx -3{,}14$: $f(-\pi) \approx -1{,}46$, $g(-\pi) = -1 \implies f(-\pi) < g(-\pi)$. * При $x = -\frac{3\pi}{2} \approx -4{,}71$: $f\left(-\frac{3\pi}{2}\right) \approx -1{,}68$, $g\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = -2 \implies f\left(-\frac{3\pi}{2}\right) > g\left(-\frac{3\pi}{2}\right)$. * Разность функций непрерывна и меняет знак — существует **ровно 1 корень**. * **Интервал $\left[-\frac{5\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}\right]$:** * При $x = -\frac{3\pi}{2}$: $f\left(-\frac{3\pi}{2}\right) > g\left(-\frac{3\pi}{2}\right)$. * При $x = -\frac{5\pi}{2} \approx -7{,}85$: $f\left(-\frac{5\pi}{2}\right) \approx -1{,}99$, а $g\left(-\frac{5\pi}{2}\right) = 0 \implies f\left(-\frac{5\pi}{2}\right) < g\left(-\frac{5\pi}{2}\right)$. * Разность функций меняет знак — существует **ровно 1 корень**. * **Отрезок $\left[-8; -\frac{5\pi}{2}\right]$:** Для всех $x \in \left[-8; -\frac{5\pi}{2}\right]$ имеем $f(x) \le \sqrt[3]{-\frac{5\pi}{2}} \approx -1{,}99$, в то время как $g(x) \ge -1$. Значит, $f(x) < g(x)$, корней нет. Всего получаем $1 + 1 + 1 = 3$ корня. Ответ: 3 решения.