ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 66

**1)** Дана функция $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$ на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; 2\pi\right]$. Используем свойство нечётности синуса и формулу приведения: $$ \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = -\cos x $$ Значит, функция имеет вид $y = -\cos x$. Функция $y = -\cos x$ убывает на тех промежутках, где функция $y = \cos x$ возрастает. Функция $y = \cos x$ возрастает на отрезках вида: $$ [-\pi + 2\pi k; 2\pi k], \quad k \in \mathbb{Z} $$ Следовательно, функция $y = -\cos x$ убывает на отрезках: $$ [-\pi + 2\pi k; 2\pi k], \quad k \in \mathbb{Z} $$ *(Этот же результат можно получить с помощью производной: $y' = (-\cos x)' = \sin x \le 0$.)* Найдём пересечение этих отрезков с заданным отрезком $\left[-\frac{\pi}{2}; 2\pi\right]$: - При $k = 0$: получаем отрезок $[-\pi; 0]$. Его пересечение с $\left[-\frac{\pi}{2}; 2\pi\right]$ даёт: $$ \left[-\frac{\pi}{2}; 0\right] $$ - При $k = 1$: получаем отрезок $[\pi; 2\pi]$, который целиком содержится в отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; 2\pi\right]$: $$ [\pi; 2\pi] $$ При других целых значениях $k$ промежутки не пересекаются с отрезком $\left[-\frac{\pi}{2}; 2\pi\right]$. **Ответ к пункту 1:** $\left[-\frac{\pi}{2}; 0\right]$; $[\pi; 2\pi]$. --- **2)** Дана функция $y = -\sin x$ на отрезке $[-\pi; 2\pi]$. Функция $y = -\sin x$ убывает на тех промежутках, где функция $y = \sin x$ возрастает. Функция $y = \sin x$ возрастает на отрезках вида: $$ \left[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right], \quad k \in \mathbb{Z} $$ Следовательно, функция $y = -\sin x$ убывает на этих же отрезках: $$ \left[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right], \quad k \in \mathbb{Z} $$ *(С помощью производной: $y' = (-\sin x)' = -\cos x \le 0 \iff \cos x \ge 0$.)* Найдём пересечение данных отрезков с заданным отрезком $[-\pi; 2\pi]$: - При $k = 0$: отрезок $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ полностью лежит внутри отрезка $[-\pi; 2\pi]$. - При $k = 1$: получаем отрезок $\left[\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}\right]$. Его пересечение с отрезком $[-\pi; 2\pi]$ даёт: $$ \left[\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right] $$ При других целых значениях $k$ промежутки не пересекаются с отрезком $[-\pi; 2\pi]$. **Ответ к пункту 2:** $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$; $\left[\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right]$.