ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 665

1) $(5 + 3i) + z = -4 - i$ Выразим неизвестное комплексное число $z$: $$ z = (-4 - i) - (5 + 3i) $$ Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, отдельно группируя действительные и мнимые части: $$ z = -4 - i - 5 - 3i $$ $$ z = (-4 - 5) + (-1 - 3)i $$ $$ z = -9 - 4i $$ Ответ: $z = -9 - 4i$. --- 2) $(-2 + i) + z = 3 - 2i$ Выразим $z$: $$ z = (3 - 2i) - (-2 + i) $$ Раскроем скобки: $$ z = 3 - 2i + 2 - i $$ Сгруппируем действительные и мнимые части: $$ z = (3 + 2) + (-2 - 1)i $$ $$ z = 5 - 3i $$ Ответ: $z = 5 - 3i$. --- 3) $5 + i = z - \left(3 - \sqrt{2}\right)i$ Перенесем слагаемое с $i$ в левую часть уравнения: $$ z = 5 + i + \left(3 - \sqrt{2}\right)i $$ Сложим мнимые части, вынося $i$ за скобки: $$ z = 5 + \left(1 + 3 - \sqrt{2}\right)i $$ $$ z = 5 + \left(4 - \sqrt{2}\right)i $$ Ответ: $z = 5 + \left(4 - \sqrt{2}\right)i$. --- 4) $(i - z)(1 + 2i) + (1 - iz)(3 - 4i) = 1 + 7i$ Раскроем скобки в левой части уравнения, помня, что $i^2 = -1$: $$ i(1 + 2i) - z(1 + 2i) + 1(3 - 4i) - iz(3 - 4i) = 1 + 7i $$ Выполним умножение числовых слагаемых: * $i(1 + 2i) = i + 2i^2 = i - 2 = -2 + i$; * $1(3 - 4i) = 3 - 4i$. Сгруппируем слагаемые, содержащие $z$: * $-z(1 + 2i) - iz(3 - 4i) = -z\big((1 + 2i) + i(3 - 4i)\big) = -z(1 + 2i + 3i - 4i^2) = -z(1 + 5i + 4) = -z(5 + 5i)$. Подставим полученные выражения в уравнение: $$ (-2 + i) + (3 - 4i) - z(5 + 5i) = 1 + 7i $$ Приведем подобные слагаемые в свободных членах: $$ (1 - 3i) - z(5 + 5i) = 1 + 7i $$ Перенесем числовые слагаемые в правую часть: $$ -z(5 + 5i) = (1 + 7i) - (1 - 3i) $$ $$ -z(5 + 5i) = 10i $$ Умножим обе части уравнения на $-1$ и разделим на $5$: $$ z(1 + i) = -2i $$ Выразим $z$: $$ z = \frac{-2i}{1 + i} $$ Домножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, то есть на $(1 - i)$: $$ z = \frac{-2i(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} $$ $$ z = \frac{-2i + 2i^2}{1^2 - i^2} $$ Учитывая, что $i^2 = -1$: $$ z = \frac{-2i - 2}{1 - (-1)} = \frac{-2 - 2i}{2} $$ $$ z = -1 - i $$ Ответ: $z = -1 - i$.