ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 65

1) Рассмотрим функцию $y = \sin x$ на отрезке $\left[\frac{\pi}{6}; \pi\right]$. Функция $y = \sin x$ непрерывна на всей числовой прямой, поэтому её множеством значений на отрезке будет отрезок $[y_{\text{наим}}; y_{\text{наиб}}]$. На промежутке $\left[\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}\right]$ функция возрастает, а на промежутке $\left[\frac{\pi}{2}; \pi\right]$ убывает. Точка $x = \frac{\pi}{2}$ принадлежит заданному отрезку, следовательно, в ней функция достигает своего наибольшего значения: $$ y_{\text{наиб}} = \sin\frac{\pi}{2} = 1 $$ Наименьшее значение функция принимает на одном из концов промежутка: $$ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $$ $$ \sin\pi = 0 $$ Так как $0 < \frac{1}{2}$, наименьшим значением функции на данном отрезке является: $$ y_{\text{наим}} = 0 $$ Таким образом, множество значений функции на отрезке $\left[\frac{\pi}{6}; \pi\right]$ — это отрезок $[0; 1]$. 2) Рассмотрим функцию $y = \sin x$ на отрезке $\left[\frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}\right]$. Отрезок $\left[\frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}\right]$ целиком содержится в промежутке $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$, на котором функция $y = \sin x$ монотонно убывает. Следовательно, на отрезке $\left[\frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}\right]$ функция убывает от наибольшего значения на левом конце до наименьшего на правом: $$ y_{\text{наиб}} = \sin\frac{3\pi}{4} = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ $$ y_{\text{наим}} = \sin\frac{5\pi}{4} = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\sin\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ Таким образом, множество значений функции на отрезке $\left[\frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}\right]$ — это отрезок $\left[-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$. Ответ: 1) $[0; 1]$; 2) $\left[-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$.