ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 643

1) $z^2 = -16$ Так как $i^2 = -1$, перепишем правую часть: $$ z^2 = 16i^2 $$ Отсюда: $$ z = \pm \sqrt{16i^2} $$ $$ z = \pm 4i $$ Ответ: $z_1 = 4i$, $z_2 = -4i$. --- 2) $z^2 = -7$ Используя свойство мнимой единицы $i^2 = -1$, получаем: $$ z^2 = 7i^2 $$ Отсюда: $$ z = \pm \sqrt{7i^2} $$ $$ z = \pm i\sqrt{7} $$ Ответ: $z_1 = i\sqrt{7}$, $z_2 = -i\sqrt{7}$. --- 3) $z^2 + 0,36 = 0$ Перенесем свободный член в правую часть: $$ z^2 = -0,36 $$ Заменим отрицательное число с помощью $i^2 = -1$: $$ z^2 = 0,36i^2 $$ $$ z = \pm 0,6i $$ Ответ: $z_1 = 0,6i$, $z_2 = -0,6i$. --- 4) $25z^2 + 9 = 0$ Перенесем слагаемое $9$ в правую часть и разделим обе части уравнения на $25$: $$ 25z^2 = -9 $$ $$ z^2 = -\frac{9}{25} $$ Используя равенство $-1 = i^2$, запишем: $$ z^2 = \frac{9}{25}i^2 $$ $$ z = \pm \frac{3}{5}i $$ Ответ: $z_1 = \frac{3}{5}i$, $z_2 = -\frac{3}{5}i$ (или $\pm 0,6i$). --- 5) $z^4 - 16 = 0$ Разложим левую часть уравнения на множители по формуле разности квадратов: $$ (z^2 - 4)(z^2 + 4) = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $z^2 - 4 = 0$ $$ z^2 = 4 \implies z = \pm 2 $$ 2) $z^2 + 4 = 0$ $$ z^2 = -4 \implies z^2 = 4i^2 \implies z = \pm 2i $$ Ответ: $z_1 = 2$, $z_2 = -2$, $z_3 = 2i$, $z_4 = -2i$. --- 6) $z^4 - 81 = 0$ Разложим левую часть уравнения на множители по формуле разности квадратов: $$ (z^2 - 9)(z^2 + 9) = 0 $$ Приравняем каждый множитель к нулю: 1) $z^2 - 9 = 0$ $$ z^2 = 9 \implies z = \pm 3 $$ 2) $z^2 + 9 = 0$ $$ z^2 = -9 \implies z^2 = 9i^2 \implies z = \pm 3i $$ Ответ: $z_1 = 3$, $z_2 = -3$, $z_3 = 3i$, $z_4 = -3i$.