ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 641

1) Обозначим искомую сумму через $S_n$: $$ S_n = \sin x + \sin 3x + \sin 5x + \ldots + \sin(2n-1)x $$ Так как $x \neq \pi k$, то $\sin x \neq 0$. Умножим обе части равенства на $2 \sin x$: $$ 2 \sin x \cdot S_n = 2 \sin x \sin x + 2 \sin 3x \sin x + 2 \sin 5x \sin x + \ldots + 2 \sin(2n-1)x \sin x $$ Применим формулу произведения синусов $2 \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$ к каждому слагаемому: $$ 2 \sin x \sin x = \cos 0 - \cos 2x = 1 - \cos 2x $$ $$ 2 \sin 3x \sin x = \cos 2x - \cos 4x $$ $$ 2 \sin 5x \sin x = \cos 4x - \cos 6x $$ $$ \ldots $$ $$ 2 \sin(2n-1)x \sin x = \cos(2n-2)x - \cos 2nx $$ Сложим полученные равенства. Все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются (телескопическая сумма): $$ 2 \sin x \cdot S_n = (1 - \cos 2x) + (\cos 2x - \cos 4x) + (\cos 4x - \cos 6x) + \ldots + (\cos(2n-2)x - \cos 2nx) $$ $$ 2 \sin x \cdot S_n = 1 - \cos 2nx $$ Используя формулу $1 - \cos 2nx = 2 \sin^2 nx$, получаем: $$ 2 \sin x \cdot S_n = 2 \sin^2 nx $$ Разделим обе части на $2 \sin x$ (так как $\sin x \neq 0$): $$ S_n = \frac{\sin^2 nx}{\sin x} $$ 2) Обозначим искомую сумму через $C_n$: $$ C_n = \cos x + \cos 3x + \cos 5x + \ldots + \cos(2n-1)x $$ Так как $x \neq \pi k$, то $\sin x \neq 0$. Умножим обе части равенства на $2 \sin x$: $$ 2 \sin x \cdot C_n = 2 \cos x \sin x + 2 \cos 3x \sin x + 2 \cos 5x \sin x + \ldots + 2 \cos(2n-1)x \sin x $$ Применим формулу произведения косинуса на синус $2 \cos \alpha \sin \beta = \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)$ к каждому слагаемому: $$ 2 \cos x \sin x = \sin 2x - \sin 0 = \sin 2x $$ $$ 2 \cos 3x \sin x = \sin 4x - \sin 2x $$ $$ 2 \cos 5x \sin x = \sin 6x - \sin 4x $$ $$ \ldots $$ $$ 2 \cos(2n-1)x \sin x = \sin 2nx - \sin(2n-2)x $$ Сложим полученные равенства. Промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются: $$ 2 \sin x \cdot C_n = \sin 2x + (\sin 4x - \sin 2x) + (\sin 6x - \sin 4x) + \ldots + (\sin 2nx - \sin(2n-2)x) $$ $$ 2 \sin x \cdot C_n = \sin 2nx $$ Разделим обе части на $2 \sin x$: $$ C_n = \frac{\sin 2nx}{2 \sin x} $$ Ответ: 1) $\frac{\sin^2 nx}{\sin x}$; 2) $\frac{\sin 2nx}{2 \sin x}$.