ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 636

1) Дано выражение: $$ z = \frac{-1 + i}{2\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)} $$ Представим числитель дроби в тригонометрической форме $z_1 = -1 + i$: - Модуль: $r_1 = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. - Аргумент $\varphi_1$ найдем из системы: $$ \begin{cases} \cos\varphi_1 = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin\varphi_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} \implies \varphi_1 = \frac{3\pi}{4} $$ Получаем: $$ -1 + i = \sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}\right) $$ Знаменатель уже записан в тригонометрической форме: $$ z_2 = 2\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right) $$ По правилу деления комплексных чисел в тригонометрической форме: $$ z = \frac{r_1}{r_2}\left(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 - \varphi_2)\right) $$ $$ z = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos\left(\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\right)\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right) $$ Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right)$. --- 2) Дано выражение: $$ z = -3\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)\left(\cos\frac{\pi}{12} - i\sin\frac{\pi}{12}\right)^4 $$ Преобразуем множители: 1. Запишем выражение в скобках в стандартной тригонометрической форме: $$ \cos\frac{\pi}{12} - i\sin\frac{\pi}{12} = \cos\left(-\frac{\pi}{12}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{12}\right) $$ 2. Возведем в 4-ю степень по формуле Муавра: $$ \left(\cos\left(-\frac{\pi}{12}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{12}\right)\right)^4 = \cos\left(4 \cdot \left(-\frac{\pi}{12}\right)\right) + i\sin\left(4 \cdot \left(-\frac{\pi}{12}\right)\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) $$ 3. Перемножим скобки, сложив их аргументы: $$ \left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) $$ 4. Число $-3$ запишем в тригонометрической форме: $$ -3 = 3(\cos\pi + i\sin\pi) $$ 5. Найдем окончательное произведение: $$ z = 3(\cos\pi + i\sin\pi)\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) = 3\left(\cos\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right)\right) = 3\left(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}\right) $$ Ответ: $3\left(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}\right)$. --- 3) Дано выражение: $$ z = \left(\frac{\sqrt{3}i + 1}{i - 1}\right)^6 $$ Запишем числитель и знаменатель дроби в тригонометрической форме: 1. Для $z_1 = 1 + \sqrt{3}i$: - $r_1 = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$; - $\cos\varphi_1 = \frac{1}{2}$, $\sin\varphi_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \varphi_1 = \frac{\pi}{3}$; - $z_1 = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)$. 2. Для $z_2 = -1 + i$: - $r_2 = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$; - $\cos\varphi_2 = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin\varphi_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \varphi_2 = \frac{3\pi}{4}$; - $z_2 = \sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}\right)$. 3. Выполним деление: $$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{2}{\sqrt{2}}\left(\cos\left(\frac{\pi}{3} - \frac{3\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3} - \frac{3\pi}{4}\right)\right) = \sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{5\pi}{12}\right) + i\sin\left(-\frac{5\pi}{12}\right)\right) $$ 4. Возведем результат в 6-ю степень по формуле Муавра: $$ z = (\sqrt{2})^6\left(\cos\left(6 \cdot \left(-\frac{5\pi}{12}\right)\right) + i\sin\left(6 \cdot \left(-\frac{5\pi}{12}\right)\right)\right) = 8\left(\cos\left(-\frac{5\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\frac{5\pi}{2}\right)\right) $$ Так как $-\frac{5\pi}{2} = -2\pi - \frac{\pi}{2}$, то аргумент можно записать как $-\frac{\pi}{2}$ (или $\frac{3\pi}{2}$): $$ z = 8\left(\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2}\right) $$ Ответ: $8\left(\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2}\right)$ (или $8\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)$). --- 4) Дано выражение: $$ z = \left(\frac{1 + i\sqrt{3}}{2}\right)^{-2} $$ Представим основание степени $w = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ в тригонометрической форме: - Модуль: $r = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1$. - Аргумент: $\cos\varphi = \frac{1}{2}$, $\sin\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \varphi = \frac{\pi}{3}$. Тогда: $$ w = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} $$ Возведем в степень $-2$ по формуле Муавра: $$ z = w^{-2} = \cos\left(-2 \cdot \frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-2 \cdot \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) $$ Приведя аргумент к промежутку $[0; 2\pi)$ ($-\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$): $$ z = \cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3} $$ Ответ: $\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}$ (или $\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)$).