ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 60

### 1) Функция задана кусочно: $$ f(x) = \begin{cases} \sin x, \text{ если } 0 \leq x \leq 3\pi, \\ \sqrt{-x}, \text{ если } x < 0. \end{cases} $$ **Построение графика функции:** 1. При $x < 0$ графиком является часть ветви параболы $y = \sqrt{-x}$, направленная влево в верхней полуплоскости. - Точки для построения: $(-4; 2)$, $(-1; 1)$. - При $x \to 0$ значение функции стремится к $0$. Точка $(0; 0)$ является граничной. 2. При $0 \leq x \leq 3\pi$ графиком является синусоида $y = \sin x$. - В точке стыка $x = 0$: $f(0) = \sin 0 = 0$, то есть график непрерывен в начале координат. - Характерные точки: - нули функции: $(0; 0)$, $(\pi; 0)$, $(2\pi; 0)$, $(3\pi; 0)$; - максимумы: $\left(\frac{\pi}{2}; 1\right)$, $\left(\frac{5\pi}{2}; 1\right)$; - минимум: $\left(\frac{3\pi}{2}; -1\right)$. График состоит из ветви корня, выходящей из начала координат влево-вверх, и полутора волн синусоиды на отрезке $[0; 3\pi]$. **Свойства функции по графику:** а) **Область определения:** Объединяем промежутки задания аргумента $x < 0$ и $0 \leq x \leq 3\pi$: $$ D(f) = (-\infty; 3\pi]. $$ б) **Множество значений:** - При $x < 0$ функция $y = \sqrt{-x}$ принимает все значения из интервала $(0; +\infty)$. - При $0 \leq x \leq 3\pi$ функция $y = \sin x$ принимает значения от $-1$ до $1$, то есть $[-1; 1]$. - Объединяя эти множества, получаем: $$ E(f) = [-1; +\infty). $$ в) **Промежутки убывания:** - На луче $(-\infty; 0]$ функция $y = \sqrt{-x}$ непрерывна и строго убывает от $+\infty$ до $0$. - На отрезке $[0; 3\pi]$ функция $y = \sin x$ убывает на отрезках $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$ и $\left[\frac{5\pi}{2}; 3\pi\right]$. Таким образом, промежутки убывания: $$ (-\infty; 0], \quad \left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right], \quad \left[\frac{5\pi}{2}; 3\pi\right]. $$ --- ### 2) Функция задана кусочно: $$ f(x) = \begin{cases} \sin x, \text{ если } \frac{\pi}{4} \leq x \leq 2\pi, \\ \cos x, \text{ если } -2\pi \leq x < \frac{\pi}{4}. \end{cases} $$ **Построение графика функции:** 1. При $-2\pi \leq x < \frac{\pi}{4}$ строим график функции $y = \cos x$: - точки максимума: $(-2\pi; 1)$ и $(0; 1)$; - нули функции: $\left(-\frac{3\pi}{2}; 0\right)$ и $\left(-\frac{\pi}{2}; 0\right)$; - точка минимума: $(-\pi; -1)$; - при приближении к правой границе: $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, точка $\left(\frac{\pi}{4}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ является граничной. 2. При $\frac{\pi}{4} \leq x \leq 2\pi$ строим график функции $y = \sin x$: - в точке $x = \frac{\pi}{4}$ значение равно $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (значения совпадают, поэтому график не имеет разрыва в точке $x = \frac{\pi}{4}$); - точка максимума: $\left(\frac{\pi}{2}; 1\right)$; - нули функции: $(\pi; 0)$ и $(2\pi; 0)$; - точка минимума: $\left(\frac{3\pi}{2}; -1\right)$. **Свойства функции по графику:** а) **Область определения:** Объединяем промежутки $\left[-2\pi; \frac{\pi}{4}\right)$ и $\left[\frac{\pi}{4}; 2\pi\right]$: $$ D(f) = [-2\pi; 2\pi]. $$ б) **Множество значений:** - На промежутке $\left[-2\pi; \frac{\pi}{4}\right)$ функция $y = \cos x$ принимает наименьшее значение $-1$ в точке $x = -\pi$ и наибольшее значение $1$ в точках $x = -2\pi$ и $x = 0$. - На отрезке $\left[\frac{\pi}{4}; 2\pi\right]$ функция $y = \sin x$ принимает наименьшее значение $-1$ в точке $x = \frac{3\pi}{2}$ и наибольшее значение $1$ в точке $x = \frac{\pi}{2}$. - Следовательно, множеством значений функции является отрезок: $$ E(f) = [-1; 1]. $$ в) **Промежутки убывания:** - Функция $y = \cos x$ убывает на отрезках $[-2\pi; -\pi]$ и $\left[0; \frac{\pi}{4}\right]$. - Так как в точке $x = \frac{\pi}{4}$ функция непрерывна и далее возрастает до $x = \frac{\pi}{2}$, отрезок $\left[0; \frac{\pi}{4}\right]$ является промежутком убывания. - Функция $y = \sin x$ убывает от точки максимума $\left(\frac{\pi}{2}; 1\right)$ до точки минимума $\left(\frac{3\pi}{2}; -1\right)$, то есть на отрезке $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$. Таким образом, промежутки убывания: $$ [-2\pi; -\pi], \quad \left[0; \frac{\pi}{4}\right], \quad \left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]. $$