ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 61

1) Преобразуем косинус по формуле приведения $\cos \alpha = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$: $$ \cos \frac{\pi}{9} = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{9}\right) = \sin\left(\frac{9\pi - 2\pi}{18}\right) = \sin \frac{7\pi}{18} $$ Сравним аргументы: $\frac{\pi}{9} = \frac{2\pi}{18}$ и $\frac{7\pi}{18}$. Так как $0 < \frac{2\pi}{18} < \frac{7\pi}{18} < \frac{\pi}{2}$, а функция $y = \sin x$ строго возрастает на промежутке $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$, то: $$ \sin \frac{2\pi}{18} < \sin \frac{7\pi}{18} $$ Следовательно, $\sin \frac{\pi}{9} < \cos \frac{\pi}{9}$. 2) Применим формулы приведения к обоим числам: $$ \sin \frac{9\pi}{8} = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{8}\right) = -\sin \frac{\pi}{8} = \sin\left(-\frac{\pi}{8}\right) $$ $$ \cos \frac{9\pi}{8} = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{8}\right) = -\cos \frac{\pi}{8} = -\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}\right) = -\sin \frac{3\pi}{8} = \sin\left(-\frac{3\pi}{8}\right) $$ Оба аргумента $-\frac{\pi}{8}$ и $-\frac{3\pi}{8}$ принадлежат промежутку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, на котором функция $y = \sin x$ строго возрастает. Сравним аргументы: $-\frac{\pi}{8} > -\frac{3\pi}{8}$. Значит: $$ \sin\left(-\frac{\pi}{8}\right) > \sin\left(-\frac{3\pi}{8}\right) $$ Следовательно, $\sin \frac{9\pi}{8} > \cos \frac{9\pi}{8}$. 3) Преобразуем косинус по формуле приведения $\cos \alpha = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$: $$ \cos \frac{5\pi}{14} = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{14}\right) = \sin\left(\frac{7\pi - 5\pi}{14}\right) = \sin \frac{2\pi}{14} = \sin \frac{\pi}{7} $$ Сравним аргументы $\frac{\pi}{5}$ и $\frac{\pi}{7}$. Так как $5 < 7$, то $\frac{\pi}{5} > \frac{\pi}{7}$. Оба угла лежат в промежутке $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$, где функция $y = \sin x$ строго возрастает, следовательно: $$ \sin \frac{\pi}{5} > \sin \frac{\pi}{7} $$ Значит, $\sin \frac{\pi}{5} > \cos \frac{5\pi}{14}$. 4) Преобразуем косинус по формуле приведения $\cos \alpha = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$: $$ \cos \frac{3\pi}{10} = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{10}\right) = \sin\left(\frac{5\pi - 3\pi}{10}\right) = \sin \frac{2\pi}{10} = \sin \frac{\pi}{5} $$ Сравним аргументы $\frac{\pi}{8}$ и $\frac{\pi}{5}$. Так как $8 > 5$, то $\frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{5}$. Оба угла лежат в промежутке $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$, где функция $y = \sin x$ строго возрастает, следовательно: $$ \sin \frac{\pi}{8} < \sin \frac{\pi}{5} $$ Значит, $\sin \frac{\pi}{8} < \cos \frac{3\pi}{10}$.