ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 57

1) Сравним числа $\sin \frac{7\pi}{10}$ и $\sin \frac{13\pi}{10}$. Определим промежуток монотонности функции $y = \sin x$, которому принадлежат оба аргумента. Так как $\frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{10}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{15\pi}{10}$, получаем: $$\frac{\pi}{2} < \frac{7\pi}{10} < \frac{13\pi}{10} < \frac{3\pi}{2}$$ Оба числа принадлежат отрезку $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$, на котором функция $y = \sin x$ убывает. Так как $\frac{7\pi}{10} < \frac{13\pi}{10}$, то меньшим аргументам соответствует большее значение функции: $$\sin \frac{7\pi}{10} > \sin \frac{13\pi}{10}$$ 2) Сравним числа $\sin \frac{13\pi}{7}$ и $\sin \frac{11\pi}{7}$. Так как $\frac{3\pi}{2} = \frac{10{,}5\pi}{7}$ и $\frac{5\pi}{2} = \frac{17{,}5\pi}{7}$, получаем: $$\frac{3\pi}{2} < \frac{11\pi}{7} < \frac{13\pi}{7} < \frac{5\pi}{2}$$ Оба числа принадлежат отрезку $\left[\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}\right]$, на котором функция $y = \sin x$ возрастает. Так как $\frac{13\pi}{7} > \frac{11\pi}{7}$, то: $$\sin \frac{13\pi}{7} > \sin \frac{11\pi}{7}$$ 3) Сравним числа $\sin \left(-\frac{8\pi}{7}\right)$ и $\sin \left(-\frac{9\pi}{8}\right)$. Приведем аргументы к общему знаменателю: $$-\frac{8\pi}{7} = -\frac{64\pi}{56}, \quad -\frac{9\pi}{8} = -\frac{63\pi}{56}$$ Так как $-\frac{3\pi}{2} = -\frac{84\pi}{56}$ и $-\frac{\pi}{2} = -\frac{28\pi}{56}$, получаем: $$-\frac{3\pi}{2} < -\frac{64\pi}{56} < -\frac{63\pi}{56} < -\frac{\pi}{2}$$ Оба числа принадлежат отрезку $\left[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}\right]$, на котором функция $y = \sin x$ убывает. Поскольку $-\frac{8\pi}{7} < -\frac{9\pi}{8}$, большему аргументу соответствует меньшее значение функции: $$\sin \left(-\frac{8\pi}{7}\right) > \sin \left(-\frac{9\pi}{8}\right)$$ 4) Сравним числа $\sin 7$ и $\sin 6$. Оценим границы отрезка возрастания $\left[\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}\right]$ в десятичных приближениях: $$\frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \cdot 3{,}14}{2} = 4{,}71, \quad \frac{5\pi}{2} \approx \frac{5 \cdot 3{,}14}{2} = 7{,}85$$ Так как $4{,}71 < 6 < 7 < 7{,}85$, оба числа принадлежат отрезку $\left[\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}\right]$, на котором функция $y = \sin x$ возрастает. Так как $7 > 6$, то: $$\sin 7 > \sin 6$$ **Ответ:** 1) $\sin \frac{7\pi}{10} > \sin \frac{13\pi}{10}$; 2) $\sin \frac{13\pi}{7} > \sin \frac{11\pi}{7}$; 3) $\sin \left(-\frac{8\pi}{7}\right) > \sin \left(-\frac{9\pi}{8}\right)$; 4) $\sin 7 > \sin 6$.