ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 55

Функция $y = \sin x$: - возрастает на отрезках вида $\left[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right]$, $k \in \mathbb{Z}$; - убывает на отрезках вида $\left[\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right]$, $k \in \mathbb{Z}$. 1) $\left[\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}\right]$ Данный отрезок можно записать в виде: $$ \left[-\frac{\pi}{2} + 2\pi; \frac{\pi}{2} + 2\pi\right] $$ Это основной промежуток возрастания при $k = 1$. При движении по графику слева направо значения функции увеличиваются от $-1$ до $1$. **Функция возрастает.** 2) $\left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)$ Интервал $\left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)$ содержится в отрезке убывания функции $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$ (при $k = 0$). Значения функции уменьшаются от $1$ до $0$. **Функция убывает.** 3) $\left(-\pi; -\frac{\pi}{2}\right)$ При $k = -1$ промежутком убывания является отрезок: $$ \left[\frac{\pi}{2} - 2\pi; \frac{3\pi}{2} - 2\pi\right] = \left[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}\right] $$ Так как $\left(-\pi; -\frac{\pi}{2}\right) \subset \left[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}\right]$, на этом интервале значения функции уменьшаются от $0$ до $-1$. **Функция убывает.** 4) $\left[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}\right]$ Отрезок совпадает с промежутком убывания вида $\left[\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right]$ при $k = -1$: $$ \left[\frac{\pi}{2} - 2\pi; \frac{3\pi}{2} - 2\pi\right] = \left[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}\right] $$ На всём отрезке значения функции уменьшаются от $1$ до $-1$. **Функция убывает.** 5) $[2; 4]$ Оценим границы промежутка с помощью приближённого значения $\pi \approx 3{,}14$: $$ \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57, \quad \frac{3\pi}{2} \approx 4{,}71 $$ Получаем неравенство: $$ \frac{\pi}{2} < 2 < 4 < \frac{3\pi}{2} $$ Следовательно, отрезок $[2; 4]$ полностью лежит внутри отрезка убывания $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$. **Функция убывает.** 6) $(6; 7)$ Оценим границы промежутка через значения $\frac{3\pi}{2}$ и $\frac{5\pi}{2}$: $$ \frac{3\pi}{2} \approx 4{,}71, \quad \frac{5\pi}{2} \approx 7{,}85 $$ Получаем неравенство: $$ \frac{3\pi}{2} < 6 < 7 < \frac{5\pi}{2} $$ Интервал $(6; 7)$ полностью лежит внутри промежутка возрастания $\left[\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}\right]$. **Функция возрастает.**