ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 507

1) Вычислим значение выражения $\overline{P}_{2,2,4} : \overline{C}_3^5$. Используем формулу числа перестановок с повторениями: $$ \overline{P}_{n_1, n_2, \dots, n_k} = \frac{(n_1 + n_2 + \dots + n_k)!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \dots \cdot n_k!} $$ Найдём $\overline{P}_{2,2,4}$: $$ \overline{P}_{2,2,4} = \frac{(2 + 2 + 4)!}{2! \cdot 2! \cdot 4!} = \frac{8!}{2! \cdot 2! \cdot 4!} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{1680}{4} = 420 $$ Используем формулу числа сочетаний с повторениями: $$ \overline{C}_n^m = C_{n+m-1}^m = \frac{(n+m-1)!}{m! \cdot (n-1)!} $$ Найдём $\overline{C}_3^5$: $$ \overline{C}_3^5 = C_{3+5-1}^5 = C_7^5 = \frac{7!}{5! \cdot 2!} = \frac{6 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 21 $$ Выполним деление: $$ \overline{P}_{2,2,4} : \overline{C}_3^5 = 420 : 21 = 20 $$ 2) Вычислим значение выражения $\overline{A}_5^2 + \overline{C}_6^3 : \overline{P}_{3,5}$. Используем формулу числа размещений с повторениями $\overline{A}_n^m = n^m$: $$ \overline{A}_5^2 = 5^2 = 25 $$ По формуле числа сочетаний с повторениями найдём $\overline{C}_6^3$: $$ \overline{C}_6^3 = C_{6+3-1}^3 = C_8^3 = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{6 \cdot 7 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 56 $$ По формуле числа перестановок с повторениями найдём $\overline{P}_{3,5}$: $$ \overline{P}_{3,5} = \frac{(3 + 5)!}{3! \cdot 5!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{6 \cdot 7 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 56 $$ Выполним действия в соответствии с порядком арифметических операций: $$ \overline{A}_5^2 + \overline{C}_6^3 : \overline{P}_{3,5} = 25 + 56 : 56 = 25 + 1 = 26 $$ Ответ: 1) $20$; 2) $26$.