ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 452

Для разложения выражений воспользуемся формулой бинома Ньютона: $$ (a + b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \dots + C_n^n b^n $$ где биномиальные коэффициенты $C_n^k$ можно находить по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ или с помощью треугольника Паскаля. --- **1)** $(1 + x)^7$ Коэффициенты разложения при $n = 7$: $1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1$. $$ (1 + x)^7 = 1^7 + 7 \cdot 1^6 \cdot x + 21 \cdot 1^5 \cdot x^2 + 35 \cdot 1^4 \cdot x^3 + 35 \cdot 1^3 \cdot x^4 + 21 \cdot 1^2 \cdot x^5 + 7 \cdot 1 \cdot x^6 + x^7 $$ $$ (1 + x)^7 = 1 + 7x + 21x^2 + 35x^3 + 35x^4 + 21x^5 + 7x^6 + x^7 $$ --- **2)** $(x - 2)^4$ Коэффициенты разложения при $n = 4$: $1, 4, 6, 4, 1$. Так как перед вторым слагаемым стоит знак «минус», знаки слагаемых чередуются: $$ (x - 2)^4 = x^4 - 4 \cdot x^3 \cdot 2 + 6 \cdot x^2 \cdot 2^2 - 4 \cdot x \cdot 2^3 + 2^4 $$ $$ (x - 2)^4 = x^4 - 8x^3 + 6 \cdot 4x^2 - 4 \cdot 8x + 16 $$ $$ (x - 2)^4 = x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16 $$ --- **3)** $(2x + 3)^4$ Коэффициенты разложения при $n = 4$: $1, 4, 6, 4, 1$. $$ (2x + 3)^4 = (2x)^4 + 4 \cdot (2x)^3 \cdot 3 + 6 \cdot (2x)^2 \cdot 3^2 + 4 \cdot (2x) \cdot 3^3 + 3^4 $$ $$ (2x + 3)^4 = 16x^4 + 4 \cdot 8x^3 \cdot 3 + 6 \cdot 4x^2 \cdot 9 + 4 \cdot 2x \cdot 27 + 81 $$ $$ (2x + 3)^4 = 16x^4 + 96x^3 + 216x^2 + 216x + 81 $$ --- **4)** $(3x - 2)^4$ Коэффициенты разложения при $n = 4$: $1, 4, 6, 4, 1$. Знаки чередуются: $$ (3x - 2)^4 = (3x)^4 - 4 \cdot (3x)^3 \cdot 2 + 6 \cdot (3x)^2 \cdot 2^2 - 4 \cdot (3x) \cdot 2^3 + 2^4 $$ $$ (3x - 2)^4 = 81x^4 - 4 \cdot 27x^3 \cdot 2 + 6 \cdot 9x^2 \cdot 4 - 4 \cdot 3x \cdot 8 + 16 $$ $$ (3x - 2)^4 = 81x^4 - 216x^3 + 216x^2 - 96x + 16 $$ --- **5)** $\left(2a - \frac{1}{2}\right)^5$ Коэффициенты разложения при $n = 5$: $1, 5, 10, 10, 5, 1$. Знаки чередуются: $$ \left(2a - \frac{1}{2}\right)^5 = (2a)^5 - 5 \cdot (2a)^4 \cdot \frac{1}{2} + 10 \cdot (2a)^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 10 \cdot (2a)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 + 5 \cdot (2a) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 - \left(\frac{1}{2}\right)^5 $$ Выполним возведение в степени и упростим коэффициенты: $$ \left(2a - \frac{1}{2}\right)^5 = 32a^5 - 5 \cdot 16a^4 \cdot \frac{1}{2} + 10 \cdot 8a^3 \cdot \frac{1}{4} - 10 \cdot 4a^2 \cdot \frac{1}{8} + 10a \cdot \frac{1}{16} - \frac{1}{32} $$ $$ \left(2a - \frac{1}{2}\right)^5 = 32a^5 - 40a^4 + 20a^3 - 5a^2 + \frac{5}{8}a - \frac{1}{32} $$ --- **6)** $\left(\frac{a}{2} + 2\right)^6$ Коэффициенты разложения при $n = 6$: $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$. $$ \left(\frac{a}{2} + 2\right)^6 = \left(\frac{a}{2}\right)^6 + 6 \cdot \left(\frac{a}{2}\right)^5 \cdot 2 + 15 \cdot \left(\frac{a}{2}\right)^4 \cdot 2^2 + 20 \cdot \left(\frac{a}{2}\right)^3 \cdot 2^3 + 15 \cdot \left(\frac{a}{2}\right)^2 \cdot 2^4 + 6 \cdot \left(\frac{a}{2}\right) \cdot 2^5 + 2^6 $$ Упростим каждое слагаемое: $$ \left(\frac{a}{2} + 2\right)^6 = \frac{a^6}{64} + 6 \cdot \frac{a^5}{32} \cdot 2 + 15 \cdot \frac{a^4}{16} \cdot 4 + 20 \cdot \frac{a^3}{8} \cdot 8 + 15 \cdot \frac{a^2}{4} \cdot 16 + 6 \cdot \frac{a}{2} \cdot 32 + 64 $$ $$ \left(\frac{a}{2} + 2\right)^6 = \frac{a^6}{64} + \frac{3}{8}a^5 + \frac{15}{4}a^4 + 20a^3 + 60a^2 + 96a + 64 $$