ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 399

Найдем абсциссы точек пересечения параболы $y = x^2 + px$ и прямой $y = kx + 1$. Для этого составим и решим уравнение: $$ x^2 + px = kx + 1 $$ $$ x^2 + (p - k)x - 1 = 0 $$ Дискриминант полученного квадратного уравнения: $$ D = (p - k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = (p - k)^2 + 4 $$ Так как $(p - k)^2 \ge 0$ при любых действительных $p$ и $k$, то $D \ge 4 > 0$. Следовательно, уравнение всегда имеет два различных действительных корня $x_1$ и $x_2$ ($x_1 < x_2$). Разность корней равна: $$ x_2 - x_1 = \frac{-(p - k) + \sqrt{D}}{2} - \frac{-(p - k) - \sqrt{D}}{2} = \sqrt{D} = \sqrt{(p - k)^2 + 4} $$ На отрезке $[x_1; x_2]$ график прямой лежит выше параболы (так как коэффициент при $x^2$ положителен, ветви параболы направлены вверх). Площадь фигуры $S$ выражается через определенный интеграл: $$ S = \int_{x_1}^{x_2} ((kx + 1) - (x^2 + px)) \, dx = -\int_{x_1}^{x_2} (x^2 + (p - k)x - 1) \, dx $$ Так как $x_1$ и $x_2$ — корни трехчлена $x^2 + (p - k)x - 1$, то его можно разложить на множители: $x^2 + (p - k)x - 1 = (x - x_1)(x - x_2)$. Вычислим интеграл: $$ S = -\int_{x_1}^{x_2} (x - x_1)(x - x_2) \, dx $$ Сделаем замену переменной $t = x - x_1$, тогда $dx = dt$. При $x = x_1$ получаем $t = 0$, при $x = x_2$ получаем $t = x_2 - x_1$. С учетом того, что $x - x_2 = (x - x_1) - (x_2 - x_1) = t - (x_2 - x_1)$: $$ S = -\int_{0}^{x_2 - x_1} t(t - (x_2 - x_1)) \, dt = \int_{0}^{x_2 - x_1} ((x_2 - x_1)t - t^2) \, dt $$ $$ S = \left. \left( (x_2 - x_1)\frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3} \right) \right|_{0}^{x_2 - x_1} = \frac{(x_2 - x_1)^3}{2} - \frac{(x_2 - x_1)^3}{3} = \frac{(x_2 - x_1)^3}{6} $$ Подставим выражение для разности корней $x_2 - x_1 = \sqrt{(p - k)^2 + 4}$: $$ S(k) = \frac{1}{6} \left( \sqrt{(p - k)^2 + 4} \right)^3 = \frac{1}{6} ((p - k)^2 + 4)^{\frac{3}{2}} $$ Функция $f(u) = \frac{1}{6} u^{\frac{3}{2}}$ является строго возрастающей при $u > 0$. Значит, площадь $S$ принимает наименьшее значение тогда, когда выражение под степенью минимально: $$ u(k) = (p - k)^2 + 4 $$ Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, $(p - k)^2 \ge 0$, наименьшее значение величины $(p - k)^2 + 4$ равно $4$ и достигается при: $$ p - k = 0 \iff k = p $$ Таким образом, наименьшая площадь фигуры достигается при $k = p$ (и равна $\frac{1}{6} \cdot 4^{\frac{3}{2}} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$). Ответ: $k = p$.