ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 376

### 1) $y = 1 - x^2$ 1. Найдем абсциссы точек пересечения параболы с осью $Ox$ ($y = 0$): $$ 1 - x^2 = 0 $$ $$ x^2 = 1 \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 1 $$ 2. Ветви параболы направлены вниз (старший коэффициент равен $-1 < 0$), поэтому на отрезке $[-1; 1]$ график расположен выше оси $Ox$, то есть $y \ge 0$. 3. Вычислим площадь фигуры с помощью определенного интеграла: $$ S = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) \, dx = \left. \left( x - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{-1}^{1} $$ $$ S = \left( 1 - \frac{1^3}{3} \right) - \left( -1 - \frac{(-1)^3}{3} \right) = \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - \left( -1 + \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3} - \left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} $$ **Ответ к п. 1:** $1\frac{1}{3}$ --- ### 2) $y = -x^2 + 4x - 3$ 1. Найдем точки пересечения параболы с осью $Ox$: $$ -x^2 + 4x - 3 = 0 $$ $$ x^2 - 4x + 3 = 0 $$ По теореме Виета: $$ x_1 = 1, \quad x_2 = 3 $$ 2. Ветви параболы направлены вниз, следовательно, на отрезке $[1; 3]$ функция принимает неотрицательные значения ($y \ge 0$). 3. Вычислим площадь фигуры: $$ S = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) \, dx = \left. \left( -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right) \right|_{1}^{3} $$ Подставим пределы интегрирования: $$ S = \left( -\frac{3^3}{3} + 2 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 \right) $$ $$ S = (-9 + 18 - 9) - \left( -\frac{1}{3} + 2 - 3 \right) = 0 - \left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} $$ **Ответ к п. 2:** $1\frac{1}{3}$ --- ### 3) $y = -x(x + 3)$ 1. Раскроем скобки и найдем точки пересечения с осью $Ox$: $$ y = -x^2 - 3x $$ $$ -x(x + 3) = 0 \implies x_1 = -3, \quad x_2 = 0 $$ 2. Ветви параболы направлены вниз, на отрезке $[-3; 0]$ график лежит не ниже оси $Ox$ ($y \ge 0$). 3. Найдем площадь фигуры: $$ S = \int_{-3}^{0} (-x^2 - 3x) \, dx = \left. \left( -\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} \right) \right|_{-3}^{0} $$ $$ S = 0 - \left( -\frac{(-3)^3}{3} - \frac{3 \cdot (-3)^2}{2} \right) = -\left( \frac{27}{3} - \frac{27}{2} \right) = -(9 - 13{,}5) = -(-4{,}5) = 4{,}5 = 4\frac{1}{2} $$ **Ответ к п. 3:** $4\frac{1}{2}$ --- ### 4) $y = (1 - x)(x + 2)$ 1. Раскроем скобки: $$ y = x + 2 - x^2 - 2x = -x^2 - x + 2 $$ 2. Найдем точки пересечения с осью $Ox$: $$ (1 - x)(x + 2) = 0 \implies x_1 = -2, \quad x_2 = 1 $$ 3. Так как ветви направлены вниз, на отрезке $[-2; 1]$ парабола расположена выше оси $Ox$. 4. Вычислим площадь: $$ S = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) \, dx = \left. \left( -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right) \right|_{-2}^{1} $$ Подставим пределы: $$ S = \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 \right) - \left( -\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2 \cdot (-2) \right) $$ $$ S = \left( 2 - \frac{5}{6} \right) - \left( \frac{8}{3} - 2 - 4 \right) = \frac{7}{6} - \left( \frac{8}{3} - 6 \right) = \frac{7}{6} - \left( -\frac{10}{3} \right) = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} $$ **Ответ к п. 4:** $4\frac{1}{2}$ --- ### 5) $y = (x + 2)(3 - x)$ 1. Раскроем скобки: $$ y = 3x - x^2 + 6 - 2x = -x^2 + x + 6 $$ 2. Найдем точки пересечения с осью $Ox$: $$ (x + 2)(3 - x) = 0 \implies x_1 = -2, \quad x_2 = 3 $$ 3. На отрезке $[-2; 3]$ парабола лежит выше оси $Ox$ ($y \ge 0$). 4. Вычислим площадь фигуры: $$ S = \int_{-2}^{3} (-x^2 + x + 6) \, dx = \left. \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 6x \right) \right|_{-2}^{3} $$ Подставим значения: $$ S = \left( -\frac{3^3}{3} + \frac{3^2}{2} + 6 \cdot 3 \right) - \left( -\frac{(-2)^3}{3} + \frac{(-2)^2}{2} + 6 \cdot (-2) \right) $$ $$ S = \left( -9 + 4{,}5 + 18 \right) - \left( \frac{8}{3} + 2 - 12 \right) = 13{,}5 - \left( \frac{8}{3} - 10 \right) $$ $$ S = \frac{27}{2} - \left( -\frac{22}{3} \right) = \frac{27}{2} + \frac{22}{3} = \frac{81 + 44}{6} = \frac{125}{6} = 20\frac{5}{6} $$ **Ответ к п. 5:** $20\frac{5}{6}$