ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 324

**1)** Построить график функции $y = 3x^2 - 6x + 5$ на отрезке $[0; 3]$. Графиком квадратичной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a = 3 > 0$). 1. Найдем координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$: $$ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = 1 $$ $$ y_0 = y(1) = 3 \cdot 1^2 - 6 \cdot 1 + 5 = 3 - 6 + 5 = 2 $$ Координаты вершины: $(1; 2)$. 2. Вычислим значения функции на концах отрезка $[0; 3]$ и в промежуточных точках: * при $x = 0$: $y(0) = 3 \cdot 0^2 - 6 \cdot 0 + 5 = 5$; * при $x = 1$: $y(1) = 2$ (вершина); * при $x = 2$: $y(2) = 3 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 + 5 = 12 - 12 + 5 = 5$; * при $x = 3$: $y(3) = 3 \cdot 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 27 - 18 + 5 = 14$. 3. Составим таблицу значений: | $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $5$ | $2$ | $5$ | $14$ | **Построение:** * На координатной плоскости строим точки $(0; 5)$, $(1; 2)$, $(2; 5)$, $(3; 14)$. * Соединяем их плавной линией параболы только в границах от $x = 0$ до $x = 3$. Функция убывает на промежутке $[0; 1]$ от $5$ до $2$ и возрастает на промежутке $[1; 3]$ от $2$ до $14$. Точки $(0; 5)$ и $(3; 14)$ являются граничными концами графика. --- **2)** Построить график функции $y = \frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3$ на отрезке $[-1; 3]$. Для исследования функции и построения графика найдем её производную: $$ y' = \left(\frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3\right)' = x^3 - 2x^2 = x^2(x - 2) $$ 1. Найдем критические точки функции, приравняв производную к нулю: $$ x^2(x - 2) = 0 \implies x_1 = 0, \quad x_2 = 2 $$ Обе точки принадлежат заданному отрезку $[-1; 3]$. 2. Определим знаки производной и промежутки монотонности на отрезке $[-1; 3]$: * при $x \in [-1; 0)$: $y' < 0$ — функция убывает; * при $x = 0$: $y' = 0$, но при переходе через $x = 0$ производная знак не меняет (касательная к графику горизонтальна, точка перегиба); * при $x \in (0; 2)$: $y' < 0$ — функция продолжает убывать; * при $x \in (2; 3]$: $y' > 0$ — функция возрастает. Следовательно, $x = 2$ — точка минимума. 3. Вычислим значения функции на концах отрезка, в критических точках и нулях функции: * $y(-1) = \frac{1}{4}(-1)^4 - \frac{2}{3}(-1)^3 = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{11}{12} \approx 0{,}92$; * $y(0) = 0$ (график проходит через начало координат с горизонтальной касательной); * $y(1) = \frac{1}{4}(1)^4 - \frac{2}{3}(1)^3 = \frac{1}{4} - \frac{2}{3} = -\frac{5}{12} \approx -0{,}42$; * $y(2) = \frac{1}{4}(2)^4 - \frac{2}{3}(2)^3 = 4 - \frac{16}{3} = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1{,}33$ (минимум); * пересечение с осью $Ox$: $\frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 = 0 \implies x^3\left(\frac{1}{4}x - \frac{2}{3}\right) = 0 \implies x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$; * $y(3) = \frac{1}{4}(3)^4 - \frac{2}{3}(3)^3 = \frac{81}{4} - 18 = 20{,}25 - 18 = 2{,}25 = 2\frac{1}{4}$. 4. Составим таблицу опорных точек: | $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $2\frac{2}{3}$ | $3$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $\frac{11}{12} \approx 0{,}92$ | $0$ | $-\frac{5}{12} \approx -0{,}42$ | $-1\frac{1}{3} \approx -1{,}33$ | $0$ | $2\frac{1}{4} = 2{,}25$ | **Построение:** * Отмечаем на координатной плоскости точки: $\left(-1; \frac{11}{12}\right)$, $(0; 0)$, $\left(1; -\frac{5}{12}\right)$, $\left(2; -1\frac{1}{3}\right)$, $\left(2\frac{2}{3}; 0\right)$, $(3; 2{,}25)$. * Проводим плавную кривую от точки $\left(-1; \frac{11}{12}\right)$ вниз через начало координат $(0; 0)$ (в этой точке график плавно выполаживается), опускаясь до точки минимума $\left(2; -1\frac{1}{3}\right)$, далее кривая идет вверх через точку $\left(2\frac{2}{3}; 0\right)$ до точки $(3; 2{,}25)$.