ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 321

1) $y = x^3 - 4x^2$ Область определения функции: $D(y) = \mathbb{R}$. Найдем производную функции: $$ y' = (x^3 - 4x^2)' = 3x^2 - 8x $$ Найдем стационарные точки, решив уравнение $y' = 0$: $$ 3x^2 - 8x = 0 $$ $$ x(3x - 8) = 0 $$ Отсюда: $x_1 = 0$ или $3x - 8 = 0 \implies x_2 = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$. Определим знаки производной методом интервалов на числовой прямой: - при $x \in (-\infty; 0)$: $y'(-1) = 3(-1)^2 - 8(-1) = 3 + 8 > 0$ (производная положительна, функция возрастает); - при $x \in \left(0; \frac{8}{3}\right)$: $y'(1) = 3(1)^2 - 8(1) = -5 < 0$ (производная отрицательна, функция убывает); - при $x \in \left(\frac{8}{3}; +\infty\right)$: $y'(3) = 3(3)^2 - 8(3) = 27 - 24 > 0$ (производная положительна, функция возрастает). При переходе через точку $x = 0$ производная меняет знак с «$+$» на «$-$», следовательно, $x = 0$ — точка максимума ($x_{max} = 0$). При переходе через точку $x = \frac{8}{3}$ производная меняет знак с «$-$» на «$+$», следовательно, $x = \frac{8}{3}$ — точка минимума ($x_{min} = 2\frac{2}{3}$). 2) $y = 3x^4 - 4x^3$ Область определения функции: $D(y) = \mathbb{R}$. Найдем производную функции: $$ y' = (3x^4 - 4x^3)' = 12x^3 - 12x^2 $$ Найдем стационарные точки, решив уравнение $y' = 0$: $$ 12x^3 - 12x^2 = 0 $$ $$ 12x^2(x - 1) = 0 $$ Отсюда: $x_1 = 0$ или $x_2 = 1$. Определим знаки производной на полученных промежутках: - при $x \in (-\infty; 0)$: $y'(-1) = 12(-1)^2(-1 - 1) = 12 \cdot (-2) < 0$ (производная отрицательна, функция убывает); - при $x \in (0; 1)$: $y'(0{,}5) = 12(0{,}5)^2(0{,}5 - 1) = 3 \cdot (-0{,}5) < 0$ (производная отрицательна, функция убывает); - при $x \in (1; +\infty)$: $y'(2) = 12(2)^2(2 - 1) = 48 \cdot 1 > 0$ (производная положительна, функция возрастает). При переходе через точку $x = 0$ производная не меняет знак, значит, точка $x = 0$ не является точкой экстремума. При переходе через точку $x = 1$ производная меняет знак с «$-$» на «$+$», следовательно, $x = 1$ — точка минимума ($x_{min} = 1$). **Ответ:** 1) $x_{max} = 0$, $x_{min} = 2\frac{2}{3}$; 2) $x_{min} = 1$.