ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 316

### № 316 #### 1) Построить график функции $y = (x+3)\sqrt{x}$ **1. Область определения:** Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $$ D(y) = [0; +\infty) $$ **2. Точки пересечения с осями координат:** * С осью $Oy$ (при $x = 0$): $y(0) = (0 + 3)\sqrt{0} = 0$. * С осью $Ox$ (при $y = 0$): $(x+3)\sqrt{x} = 0$. Так как $x \ge 0$, то $x + 3 > 0$, откуда $\sqrt{x} = 0 \implies x = 0$. График проходит через начало координат — точку $(0; 0)$. При всех $x > 0$ значения функции $y > 0$. **3. Асимптоты:** Вертикальных и горизонтальных асимптот нет. При $x \to +\infty$ функция $y \to +\infty$. **4. Промежутки монотонности и экстремумы:** Запишем функцию в виде $y = x^{\frac{3}{2}} + 3x^{\frac{1}{2}}$ и найдём производную: $$ y' = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{3\sqrt{x}}{2} + \frac{3}{2\sqrt{x}} = \frac{3(x+1)}{2\sqrt{x}} $$ При любом $x > 0$ числитель $3(x+1) > 0$ и знаменатель $2\sqrt{x} > 0$, следовательно, $y' > 0$. Функция строго возрастает на всей области определения $[0; +\infty)$, локальных экстремумов нет. **5. Направление выпуклости и точки перегиба:** $$ y'' = \left(\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{2}x^{-\frac{1}{2}}\right)' = \frac{3}{4}x^{-\frac{1}{2}} - \frac{3}{4}x^{-\frac{3}{2}} = \frac{3}{4\sqrt{x}} - \frac{3}{4x\sqrt{x}} = \frac{3(x-1)}{4x\sqrt{x}} $$ Приравняем вторую производную к нулю: $$ 3(x-1) = 0 \implies x = 1 $$ * При $x \in (0; 1)$: $y'' < 0$ — график функции выпуклый вверх; * При $x \in (1; +\infty)$: $y'' > 0$ — график функции выпуклый вниз; * $x = 1$ — точка перегиба, $y(1) = (1+3)\sqrt{1} = 4$. Точка перегиба — $(1; 4)$. **6. Построение графика:** * График начинается в точке $(0; 0)$ с вертикальной касательной ($\lim_{x \to 0^+} y' = +\infty$). * Возрастает, проходя через точку перегиба $(1; 4)$, меняет выпуклость с направления «вверх» на «вниз». * Контрольная точка: при $x = 4 \implies y = (4+3)\sqrt{4} = 14$. --- #### 2) Построить график функции $y = \frac{(x+1)^3}{x^2}$ **1. Область определения:** Знаменатель не равен нулю: $x^2 \ne 0 \implies x \ne 0$. $$ D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) $$ **2. Точки пересечения с осями координат:** * С осью $Oy$: пересечений нет, так как $x = 0$ не входит в область определения. * С осью $Ox$ ($y = 0$): $(x+1)^3 = 0 \implies x = -1$. Точка $(-1; 0)$. **3. Асимптоты графика:** * Вертикальная асимптота: $$ \lim_{x \to 0^-} \frac{(x+1)^3}{x^2} = +\infty, \quad \lim_{x \to 0^+} \frac{(x+1)^3}{x^2} = +\infty $$ Прямая $x = 0$ (ось $Oy$) — вертикальная асимптота. * Наклонная асимптота $y = kx + b$: Выделим целую часть дроби: $$ y = \frac{x^3 + 3x^2 + 3x + 1}{x^2} = x + 3 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2} $$ $$ k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y}{x} = 1, \quad b = \lim_{x \to \pm\infty} (y - x) = 3 $$ Прямая $y = x + 3$ — наклонная асимптота. **4. Промежутки монотонности и экстремумы:** Найдём производную: $$ y' = \left(x + 3 + 3x^{-1} + x^{-2}\right)' = 1 - \frac{3}{x^2} - \frac{2}{x^3} = \frac{x^3 - 3x - 2}{x^3} $$ Разложим числитель на множители: $$ x^3 - 3x - 2 = (x+1)(x^2 - x - 2) = (x+1)^2(x-2) $$ $$ y' = \frac{(x+1)^2(x-2)}{x^3} $$ Критические точки: $x = -1$, $x = 2$; точка разрыва $x = 0$. Определим знаки $y'$ на интервалах: * На $(-\infty; -1)$: $y' > 0$ — функция возрастает; * На $(-1; 0)$: $y' > 0$ — функция возрастает; * На $(0; 2)$: $y' < 0$ — функция убывает; * На $(2; +\infty)$: $y' > 0$ — функция возрастает. В точке $x = 2$ производная меняет знак с «$-$» на «$+$» — это точка локального минимума: $$ y(2) = \frac{(2+1)^3}{2^2} = \frac{27}{4} = 6{,}75 $$ Точка минимума: $(2; 6{,}75)$. В точке $x = -1$ производная равна нулю, но знак не меняет (точка перегиба с горизонтальной касательной). **5. Точки перегиба:** $$ y'' = \left(1 - 3x^{-2} - 2x^{-3}\right)' = \frac{6}{x^3} + \frac{6}{x^4} = \frac{6(x+1)}{x^4} $$ $y'' = 0$ при $x = -1$. Точка перегиба — $(-1; 0)$. --- #### 3) Построить график функции $y = x^2 \ln x$ **1. Область определения:** Логарифм определён только для положительных чисел: $$ D(y) = (0; +\infty) $$ **2. Точки пересечения с осями координат:** * С осью $Oy$: график не пересекает ось, так как $x > 0$. * С осью $Ox$ ($y = 0$): $x^2 \ln x = 0 \implies \ln x = 0 \implies x = 1$. Точка $(1; 0)$. Знаки функции: * При $x \in (0; 1)$: $\ln x < 0 \implies y < 0$; * При $x \in (1; +\infty)$: $\ln x > 0 \implies y > 0$. **3. Поведение на границах области определения:** * При $x \to 0^+$: $\lim_{x \to 0^+} x^2 \ln x = 0$. График стремится к выколотой точке $(0; 0)$. * При $x \to +\infty$: $\lim_{x \to +\infty} x^2 \ln x = +\infty$. Асимптот нет. **4. Промежутки монотонности и экстремумы:** Найдём производную: $$ y' = (x^2)' \ln x + x^2 (\ln x)' = 2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln x + x = x(2\ln x + 1) $$ Приравняем производную к нулю (при $x > 0$): $$ 2\ln x + 1 = 0 \implies \ln x = -\frac{1}{2} \implies x = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}} \approx 0{,}61 $$ Определим знаки $y'$: * При $x \in \left(0; \frac{1}{\sqrt{e}}\right)$: $y' < 0$ — функция убывает; * При $x \in \left(\frac{1}{\sqrt{e}}; +\infty\right)$: $y' > 0$ — функция возрастает. В точке $x = \frac{1}{\sqrt{e}}$ функция имеет локальный минимум: $$ y\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right)^2 \ln\left(e^{-\frac{1}{2}}\right) = \frac{1}{e} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2e} \approx -0{,}18 $$ Точка минимума: $\left(\frac{1}{\sqrt{e}}; -\frac{1}{2e}\right)$. Заметим, что $\lim_{x \to 0^+} y' = \lim_{x \to 0^+} (2x\ln x + x) = 0$, то есть при приближении к началу координат график касается оси абсцисс. **5. Точки перегиба:** $$ y'' = (2x\ln x + x)' = 2\ln x + 2 + 1 = 2\ln x + 3 $$ $$ 2\ln x + 3 = 0 \implies \ln x = -\frac{3}{2} \implies x = e^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{e\sqrt{e}} \approx 0{,}22 $$ $$ y\left(e^{-\frac{3}{2}}\right) = e^{-3} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{3}{2e^3} \approx -0{,}07 $$ Точка перегиба: $\left(e^{-\frac{3}{2}}; -\frac{3}{2e^3}\right)$. --- #### 4) Построить график функции $y = \frac{x^2}{(x+2)^3}$ **1. Область определения:** Знаменатель не равен нулю: $x + 2 \ne 0 \implies x \ne -2$. $$ D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty) $$ **2. Точки пересечения с осями координат:** * С осью $Oy$ (при $x = 0$): $y(0) = 0$. * С осью $Ox$ (при $y = 0$): $x^2 = 0 \implies x = 0$. Единственная точка пересечения — начало координат $(0; 0)$. Знаки функции: * При $x < -2$: $y < 0$; * При $x > -2$ ($x \ne 0$): $y > 0$. **3. Асимптоты:** * Вертикальная асимптота: $$ \lim_{x \to -2^-} \frac{x^2}{(x+2)^3} = -\infty, \quad \lim_{x \to -2^+} \frac{x^2}{(x+2)^3} = +\infty $$ Прямая $x = -2$ — вертикальная асимптота. * Горизонтальная асимптота: $$ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{(x+2)^3} = 0 $$ Прямая $y = 0$ (ось $Ox$) — горизонтальная асимптота при $x \to \pm\infty$. **4. Промежутки монотонности и экстремумы:** Найдём производную: $$ y' = \frac{(x^2)'(x+2)^3 - x^2 \cdot \left((x+2)^3\right)'}{(x+2)^6} = \frac{2x(x+2)^3 - 3x^2(x+2)^2}{(x+2)^6} $$ $$ y' = \frac{(x+2)^2 [2x(x+2) - 3x^2]}{(x+2)^6} = \frac{2x^2 + 4x - 3x^2}{(x+2)^4} = \frac{4x - x^2}{(x+2)^4} = \frac{x(4-x)}{(x+2)^4} $$ Знаменатель $(x+2)^4 > 0$ при всех $x \ne -2$, поэтому знак производной совпадает со знаком числителя $x(4-x)$: * На $(-\infty; -2)$: $y' < 0$ — функция убывает; * На $(-2; 0)$: $y' < 0$ — функция убывает; * На $(0; 4)$: $y' > 0$ — функция возрастает; * На $(4; +\infty)$: $y' < 0$ — функция убывает. Экстремумы: * В точке $x = 0$: производная меняет знак с «$-$» на «$+$» $\implies$ точка локального минимума: $$ y(0) = 0 $$ Точка минимума: $(0; 0)$. * В точке $x = 4$: производная меняет знак с «$+$» на «$-$» $\implies$ точка локального максимума: $$ y(4) = \frac{4^2}{(4+2)^3} = \frac{16}{6^3} = \frac{16}{216} = \frac{2}{27} \approx 0{,}074 $$ Точка максимума: $\left(4; \frac{2}{27}\right)$.