ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 313

### 313 #### 1) $y = 3x + \frac{1}{3x}$ 1. **Область определения:** Знаменатель не должен быть равен нулю: $3x \neq 0 \implies x \neq 0$. $$D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$$ 2. **Чётность / нечётность:** $$y(-x) = 3(-x) + \frac{1}{3(-x)} = -3x - \frac{1}{3x} = -\left(3x + \frac{1}{3x}\right) = -y(x)$$ Функция нечётная, её график симметричен относительно начала координат $(0; 0)$. 3. **Точки пересечения с осями координат:** - С осью $Oy$: точек нет, так как $x = 0 \notin D(y)$. - С осью $Ox$: $y = 0 \implies 3x + \frac{1}{3x} = 0 \implies \frac{9x^2 + 1}{3x} = 0$. Так как $9x^2 + 1 \ge 1 > 0$, уравнение не имеет действительных корней. График не пересекает ось $Ox$. 4. **Асимптоты и поведение функции на краях области определения:** - При $x \to 0^+$: $y \to +\infty$; при $x \to 0^-$: $y \to -\infty$. Прямая $x = 0$ (ось $Oy$) — вертикальная асимптота. - При $x \to \pm\infty$ дробь $\frac{1}{3x} \to 0$, поэтому прямая $y = 3x$ — наклонная асимптота. 5. **Промежутки возрастания, убывания и экстремумы:** Найдём производную функции: $$y' = \left(3x + \frac{1}{3}x^{-1}\right)' = 3 - \frac{1}{3x^2} = \frac{9x^2 - 1}{3x^2} = \frac{(3x - 1)(3x + 1)}{3x^2}$$ Критические точки ($y' = 0$): $$(3x - 1)(3x + 1) = 0 \implies x_1 = -\frac{1}{3}, \quad x_2 = \frac{1}{3}$$ Определим знаки производной на интервалах: - на $\left(-\infty; -\frac{1}{3}\right)$: $y' > 0$ — функция возрастает; - на $\left(-\frac{1}{3}; 0\right)$: $y' < 0$ — функция убывает; - на $\left(0; \frac{1}{3}\right)$: $y' < 0$ — функция убывает; - на $\left(\frac{1}{3}; +\infty\right)$: $y' > 0$ — функция возрастает. Точки экстремума: - $x_{\max} = -\frac{1}{3}$, $y_{\max} = 3\left(-\frac{1}{3}\right) + \frac{1}{3\left(-\frac{1}{3}\right)} = -1 - 1 = -2$. Точка локального максимума: $\left(-\frac{1}{3}; -2\right)$. - $x_{\min} = \frac{1}{3}$, $y_{\min} = 3\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{1}{3\left(\frac{1}{3}\right)} = 1 + 1 = 2$. Точка локального минимума: $\left(\frac{1}{3}; 2\right)$. 6. **Построение графика:** График состоит из двух ветвей, расположенных в I и III координатных четвертях: - в III четверти функция возрастает от асимптоты $y = 3x$ до точки максимума $\left(-\frac{1}{3}; -2\right)$, затем убывает вдоль асимптоты $x = 0$ к $-\infty$; - в I четверти функция убывает от $+\infty$ вдоль асимптоты $x = 0$ до точки минимума $\left(\frac{1}{3}; 2\right)$, затем возрастает, приближаясь к асимптоте $y = 3x$. --- #### 2) $y = x - \frac{9}{x}$ 1. **Область определения:** $$D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$$ 2. **Чётность / нечётность:** $$y(-x) = -x - \frac{9}{-x} = -x + \frac{9}{x} = -\left(x - \frac{9}{x}\right) = -y(x)$$ Функция нечётная, график симметричен относительно начала координат. 3. **Точки пересечения с осями координат:** - С осью $Oy$: пересечений нет, так как $x \neq 0$. - С осью $Ox$: $$x - \frac{9}{x} = 0 \implies \frac{x^2 - 9}{x} = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$$ Точки пересечения: $(-3; 0)$ и $(3; 0)$. 4. **Асимптоты и поведение функции:** - При $x \to 0^+$: $y \to -\infty$; при $x \to 0^-$: $y \to +\infty$. Прямая $x = 0$ — вертикальная асимптота. - При $x \to \pm\infty$ дробь $\frac{9}{x} \to 0$, поэтому прямая $y = x$ — наклонная асимптота. 5. **Промежутки возрастания, убывания и экстремумы:** $$y' = \left(x - 9x^{-1}\right)' = 1 + \frac{9}{x^2} = \frac{x^2 + 9}{x^2}$$ Так как $x^2 + 9 > 0$ и $x^2 > 0$ при всех $x \neq 0$, то: $$y' > 0 \quad \text{для всех } x \in D(y)$$ Функция возрастает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Точек экстремума нет. 6. **Дополнительные точки для построения:** - при $x = -9$: $y = -9 - \frac{9}{-9} = -8$; - при $x = -1$: $y = -1 + 9 = 8$; - при $x = 1$: $y = 1 - 9 = -8$; - при $x = 9$: $y = 9 - \frac{9}{9} = 8$. 7. **Построение графика:** График состоит из двух ветвей: - при $x < 0$ функция возрастает от наклонной асимптоты $y = x$ через точку $(-3; 0)$ вверх вдоль вертикальной асимптоты $x = 0$ к $+\infty$; - при $x > 0$ функция поднимается от $-\infty$ вдоль вертикальной асимптоты $x = 0$ через точку $(3; 0)$ вверх, приближаясь к наклонной асимптоте $y = x$. --- #### 3) $y = \frac{4}{x} - x$ 1. **Область определения:** $$D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$$ 2. **Чётность / нечётность:** $$y(-x) = \frac{4}{-x} - (-x) = -\frac{4}{x} + x = -\left(\frac{4}{x} - x\right) = -y(x)$$ Функция нечётная, график симметричен относительно начала координат. 3. **Точки пересечения с осями координат:** - С осью $Oy$: пересечений нет ($x \neq 0$). - С осью $Ox$: $$\frac{4}{x} - x = 0 \implies \frac{4 - x^2}{x} = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$$ Точки пересечения: $(-2; 0)$ и $(2; 0)$. 4. **Асимптоты и поведение функции:** - При $x \to 0^+$: $y \to +\infty$; при $x \to 0^-$: $y \to -\infty$. Прямая $x = 0$ — вертикальная асимптота. - При $x \to \pm\infty$ величина $\frac{4}{x} \to 0$, поэтому прямая $y = -x$ — наклонная асимптота. 5. **Промежутки возрастания, убывания и экстремумы:** $$y' = \left(4x^{-1} - x\right)' = -\frac{4}{x^2} - 1 = -\frac{x^2 + 4}{x^2}$$ Так как $x^2 + 4 > 0$ и $x^2 > 0$ при $x \neq 0$, то: $$y' < 0 \quad \text{для всех } x \in D(y)$$ Функция убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Точек экстремума нет. 6. **Дополнительные точки для построения:** - при $x = -4$: $y = -1 + 4 = 3$; - при $x = -1$: $y = -4 + 1 = -3$; - при $x = 1$: $y = 4 - 1 = 3$; - при $x = 4$: $y = 1 - 4 = -3$. 7. **Построение графика:** График состоит из двух ветвей: - при $x < 0$ функция убывает от наклонной асимптоты $y = -x$ через точку $(-2; 0)$ вниз к $-\infty$ вдоль вертикальной асимптоты $x = 0$; - при $x > 0$ функция убывает от $+\infty$ вдоль вертикальной асимптоты $x = 0$ через точку $(2; 0)$ вниз, приближаясь к наклонной асимптоте $y = -x$. --- #### 4) $y = x - \frac{1}{\sqrt{x}}$ 1. **Область определения:** Подкоренное выражение должно быть строго больше нуля: $$D(y) = (0; +\infty)$$ 2. **Чётность / нечётность:** Область определения не симметрична относительно нуля, функция общего вида. 3. **Точки пересечения с осями координат:** - С осью $Oy$: точек нет, так как $x = 0 \notin D(y)$. - С осью $Ox$: $$x - \frac{1}{\sqrt{x}} = 0 \implies x\sqrt{x} = 1 \implies x^{\frac{3}{2}} = 1 \implies x = 1$$ Точка пересечения с осью $Ox$: $(1; 0)$. 4. **Асимптоты и поведение функции:** - При $x \to 0^+$: $\sqrt{x} \to 0^+ \implies \frac{1}{\sqrt{x}} \to +\infty \implies y \to -\infty$. Прямая $x = 0$ (положительная полуось $Oy$) — вертикальная асимптота. - При $x \to +\infty$ слагаемое $\frac{1}{\sqrt{x}} \to 0$, поэтому $y \to +\infty$, а прямая $y = x$ является наклонной асимптотой при $x \to +\infty$. 5. **Промежутки возрастания, убывания и экстремумы:** $$y' = \left(x - x^{-\frac{1}{2}}\right)' = 1 - \left(-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}\right) = 1 + \frac{1}{2x\sqrt{x}}$$ Для любого $x > 0$ значение $2x\sqrt{x} > 0$, следовательно: $$y' > 1 > 0 \quad \text{для всех } x \in (0; +\infty)$$ Функция строго возрастает на всей области определения $(0; +\infty)$. Точек экстремума нет. 6. **Дополнительные точки для построения:** - при $x = \frac{1}{4}$: $y = \frac{1}{4} - \frac{1}{\sqrt{1/4}} = \frac{1}{4} - 2 = -1{,}75$; - при $x = 1$: $y = 0$; - при $x = 4$: $y = 4 - \frac{1}{\sqrt{4}} = 4 - 0{,}5 = 3{,}5$; - при $x = 9$: $y = 9 - \frac{1}{3} = 8\frac{2}{3} \approx 8{,}67$. 7. **Построение графика:** График расположен в I и IV координатных четвертях: начинается из $-\infty$ снизу вдоль оси $Oy$, круто поднимается вверх, пересекает ось абсцисс в точке $(1; 0)$ и далее плавно возрастает, приближаясь снизу к наклонной прямой $y = x$.