ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 317

**№ 317** **1)** Построить график функции $y = x^3 - x^2 - x + 1$. Для построения графика проведём полное исследование функции: 1. **Область определения:** Функция определена на всей числовой прямой: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. 2. **Чётность / нечётность:** $$y(-x) = (-x)^3 - (-x)^2 - (-x) + 1 = -x^3 - x^2 + x + 1$$ Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида). 3. **Точки пересечения графика с осями координат:** - с осью $Oy$ ($x = 0$): $$y(0) = 0^3 - 0^2 - 0 + 1 = 1 \implies (0; 1)$$ - с осью $Ox$ ($y = 0$): $$x^3 - x^2 - x + 1 = 0$$ $$x^2(x - 1) - (x - 1) = 0$$ $$(x - 1)(x^2 - 1) = 0$$ $$(x - 1)^2(x + 1) = 0$$ Отсюда $x = -1$ и $x = 1$. Точки пересечения с осью абсцисс: $(-1; 0)$ и $(1; 0)$ (в точке $x = 1$ корень чётной кратности, значит, график касается оси $Ox$). 4. **Промежутки знакопостоянства:** - $y > 0$ при $x \in (-1; 1) \cup (1; +\infty)$; - $y < 0$ при $x \in (-\infty; -1)$. 5. **Промежутки возрастания, убывания и экстремумы:** Найдём производную: $$y' = 3x^2 - 2x - 1$$ Приравняем производную к нулю для нахождения стационарных точек: $$3x^2 - 2x - 1 = 0$$ $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 = 4^2$$ $$x_1 = \frac{2 - 4}{6} = -\frac{1}{3}, \quad x_2 = \frac{2 + 4}{6} = 1$$ Определим знаки производной методом интервалов: - на интервале $\left(-\infty; -\frac{1}{3}\right)$: $y' > 0$ — функция возрастает; - на отрезке $\left[-\frac{1}{3}; 1\right]$: $y' < 0$ — функция убывает; - на интервале $(1; +\infty)$: $y' > 0$ — функция возрастает. Точки экстремума: - $x_{\max} = -\frac{1}{3}$; $$y_{\max} = y\left(-\frac{1}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3}\right)^3 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 - \left(-\frac{1}{3}\right) + 1 = -\frac{1}{27} - \frac{1}{9} + \frac{1}{3} + 1 = \frac{32}{27} = 1\frac{5}{27} \approx 1{,}19$$ Точка максимума: $\left(-\frac{1}{3}; \frac{32}{27}\right)$. - $x_{\min} = 1$; $$y_{\min} = y(1) = 1^3 - 1^2 - 1 + 1 = 0$$ Точка минимума: $(1; 0)$. 6. **Направление выпуклости и точка перегиба:** $$y'' = 6x - 2$$ $$6x - 2 = 0 \implies x = \frac{1}{3}$$ - при $x < \frac{1}{3}$: $y'' < 0$ — график выпуклый вверх; - при $x > \frac{1}{3}$: $y'' > 0$ — график выпуклый вниз. Точка перегиба: $$y\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{27} - \frac{1}{9} - \frac{1}{3} + 1 = \frac{16}{27} \approx 0{,}59 \implies \left(\frac{1}{3}; \frac{16}{27}\right)$$ 7. **Построение графика:** - Отмечаем характерные точки: $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $\left(-\frac{1}{3}; 1\frac{5}{27}\right)$, $\left(\frac{1}{3}; \frac{16}{27}\right)$, $(1; 0)$; - Проводим плавную кривую: из $-\infty$ функция возрастает до локального максимума в точке $\left(-\frac{1}{3}; \frac{32}{27}\right)$, пересекая ось $Ox$ в $(-1; 0)$ и ось $Oy$ в $(0; 1)$, затем убывает до минимума $(1; 0)$, касаясь оси $Ox$, после чего неограниченно возрастает в $+\infty$. --- **2)** Построить график функции $y = x^3 - x^2 + x - 1$. Для построения графика проведём исследование функции: 1. **Область определения:** Функция определена на всей числовой прямой: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. 2. **Чётность / нечётность:** $$y(-x) = (-x)^3 - (-x)^2 + (-x) - 1 = -x^3 - x^2 - x - 1$$ Функция общего вида (ни чётная, ни нечётная). 3. **Точки пересечения графика с осями координат:** - с осью $Oy$ ($x = 0$): $$y(0) = 0^3 - 0^2 + 0 - 1 = -1 \implies (0; -1)$$ - с осью $Ox$ ($y = 0$): $$x^3 - x^2 + x - 1 = 0$$ $$x^2(x - 1) + (x - 1) = 0$$ $$(x - 1)(x^2 + 1) = 0$$ Так как $x^2 + 1 > 0$ при любых $x \in \mathbb{R}$, единственным корнем является $x = 1$. Точка пересечения с осью абсцисс: $(1; 0)$. 4. **Промежутки возрастания, убывания и экстремумы:** Найдём производную: $$y' = 3x^2 - 2x + 1$$ Решим уравнение $y' = 0$: $$3x^2 - 2x + 1 = 0$$ $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = -8 < 0$$ Так как старший коэффициент $a = 3 > 0$ и дискриминант $D < 0$, производная положительна при всех $x \in \mathbb{R}$: $$y' > 0 \quad \text{для любого } x \in (-\infty; +\infty)$$ Следовательно, функция строго возрастает на всей области определения и не имеет точек экстремума. 5. **Направление выпуклости и точка перегиба:** Найдём вторую производную: $$y'' = 6x - 2$$ $$6x - 2 = 0 \implies x = \frac{1}{3}$$ - при $x \in \left(-\infty; \frac{1}{3}\right)$: $y'' < 0$ — график функции выпуклый вверх; - при $x \in \left(\frac{1}{3}; +\infty\right)$: $y'' > 0$ — график функции выпуклый вниз. Вычислим ординату точки перегиба: $$y\left(\frac{1}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}\right)^3 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \frac{1}{3} - 1 = \frac{1}{27} - \frac{1}{9} + \frac{1}{3} - 1 = -\frac{20}{27} \approx -0{,}74$$ Точка перегиба: $\left(\frac{1}{3}; -\frac{20}{27}\right)$. 6. **Дополнительные точки для построения:** - при $x = -1$: $y(-1) = -1 - 1 - 1 - 1 = -4 \implies (-1; -4)$; - при $x = 2$: $y(2) = 8 - 4 + 2 - 1 = 5 \implies (2; 5)$. 7. **Построение графика:** - Наносим на координатную плоскость точки: $(-1; -4)$, $(0; -1)$, $\left(\frac{1}{3}; -\frac{20}{27}\right)$, $(1; 0)$, $(2; 5)$; - Проводим непрерывную возрастающую кривую через эти точки, меняющую направление выпуклости в точке $\left(\frac{1}{3}; -\frac{20}{27}\right)$.