ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 312

### 1) $y = 2 + 5x^3 - 3x^5$ 1. **Область определения:** $D(y) = \mathbb{R}$. 2. **Точки пересечения с осями:** - с осью $Oy$: при $x = 0$ получаем $y = 2$, точка $(0; 2)$; - с осью $Ox$: решим уравнение $2 + 5x^3 - 3x^5 = 0$. Заметим, что $x = -1$ является корнем: $$ 2 + 5(-1)^3 - 3(-1)^5 = 2 - 5 + 3 = 0 $$ График пересекает ось $Ox$ в точке $(-1; 0)$. 3. **Промежутки монотонности и экстремумы:** Найдём производную: $$ y' = (2 + 5x^3 - 3x^5)' = 15x^2 - 15x^4 = 15x^2(1 - x^2) = 15x^2(1 - x)(1 + x) $$ Найдём стационарные точки: $$ 15x^2(1 - x)(1 + x) = 0 \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = 1 $$ Определим знаки производной методом интервалов: - на $(-\infty; -1)$: $y' < 0$ — функция убывает; - на $(-1; 0)$: $y' > 0$ — функция возрастает; - на $(0; 1)$: $y' > 0$ — функция возрастает; - на $(1; +\infty)$: $y' < 0$ — функция убывает. Так как при переходе через точку $x = -1$ знак производной меняется с «$-$» на «$+$», то $x = -1$ — точка минимума: $$ y_{\min} = y(-1) = 0 $$ При переходе через точку $x = 1$ знак производной меняется с «$+$» на «$-$», то $x = 1$ — точка максимума: $$ y_{\max} = y(1) = 2 + 5\cdot 1^3 - 3\cdot 1^5 = 4 $$ В точке $x = 0$ знак производной не меняется (экстремума нет, в этой точке график имеет горизонтальную касательную — точка перегиба $(0; 2)$). 4. **Поведение на бесконечности:** При $x \to +\infty$, $y \to -\infty$; при $x \to -\infty$, $y \to +\infty$. 5. **Построение графика:** Отмечаем на координатной плоскости точки $(-1; 0)$ — минимум, $(0; 2)$ — перегиб с горизонтальной касательной, $(1; 4)$ — максимум. Соединяем их плавной кривой: функция убывает от $+\infty$ до точки $(-1; 0)$, затем возрастает через $(0; 2)$ до точки $(1; 4)$, после чего убывает до $-\infty$. --- ### 2) $y = 3x^5 - 5x^3$ 1. **Область определения:** $D(y) = \mathbb{R}$. 2. **Чётность:** $$ y(-x) = 3(-x)^5 - 5(-x)^3 = -3x^5 + 5x^3 = -y(x) $$ Функция нечётная, её график симметричен относительно начала координат $O(0; 0)$. 3. **Точки пересечения с осями:** - с осью $Oy$: при $x = 0$, $y = 0$; - с осью $Ox$: $$ 3x^5 - 5x^3 = 0 \implies x^3(3x^2 - 5) = 0 $$ $$ x = 0 \quad \text{или} \quad x = \pm\sqrt{\frac{5}{3}} \approx \pm 1{,}29 $$ Точки пересечения: $(-\sqrt{5/3}; 0)$, $(0; 0)$, $(\sqrt{5/3}; 0)$. 4. **Промежутки монотонности и экстремумы:** Найдём производную: $$ y' = (3x^5 - 5x^3)' = 15x^4 - 15x^2 = 15x^2(x^2 - 1) = 15x^2(x - 1)(x + 1) $$ Стационарные точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$. Знаки производной: - на $(-\infty; -1)$: $y' > 0$ — функция возрастает; - на $(-1; 0)$: $y' < 0$ — функция убывает; - на $(0; 1)$: $y' < 0$ — функция убывает; - на $(1; +\infty)$: $y' > 0$ — функция возрастает. Экстремумы: - $x = -1$ — точка максимума: $$ y_{\max} = y(-1) = 3(-1)^5 - 5(-1)^3 = -3 + 5 = 2 $$ - $x = 1$ — точка минимума: $$ y_{\min} = y(1) = 3(1)^5 - 5(1)^3 = 3 - 5 = -2 $$ - $x = 0$ — точка перегиба с горизонтальной касательной. 5. **Построение графика:** Отмечаем характерные точки: максимум $(-1; 2)$, минимум $(1; -2)$, нули функции $x \approx -1{,}29$, $x = 0$, $x \approx 1{,}29$. График приходит из $-\infty$, возрастает до $(-1; 2)$, убывает через точку $(0; 0)$ до $(1; -2)$, а затем возрастает в $+\infty$. --- ### 3) $y = 4x^5 - 5x^4$ 1. **Область определения:** $D(y) = \mathbb{R}$. 2. **Точки пересечения с осями:** - с осью $Oy$: при $x = 0$, $y = 0$; - с осью $Ox$: $$ 4x^5 - 5x^4 = 0 \implies x^4(4x - 5) = 0 $$ $$ x = 0 \quad \text{или} \quad x = \frac{5}{4} = 1{,}25 $$ Точки пересечения: $(0; 0)$ и $(1{,}25; 0)$. 3. **Промежутки монотонности и экстремумы:** Найдём производную: $$ y' = (4x^5 - 5x^4)' = 20x^4 - 20x^3 = 20x^3(x - 1) $$ Стационарные точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$. Знаки производной: - на $(-\infty; 0)$: $y' > 0$ — функция возрастает; - на $(0; 1)$: $y' < 0$ — функция убывает; - на $(1; +\infty)$: $y' > 0$ — функция возрастает. Экстремумы: - при переходе через $x = 0$ знак производной меняется с «$+$» на «$-$», $x = 0$ — точка максимума: $$ y_{\max} = y(0) = 0 $$ - при переходе через $x = 1$ знак меняется с «$-$» на «$+$», $x = 1$ — точка минимума: $$ y_{\min} = y(1) = 4\cdot 1^5 - 5\cdot 1^4 = -1 $$ 4. **Построение графика:** Отмечаем точки: локальный максимум $(0; 0)$ (в ней график касается оси $Ox$), локальный минимум $(1; -1)$, пересечение с осью $Ox$ в точке $(1{,}25; 0)$. График возрастает из $-\infty$ до $(0; 0)$, затем убывает до $(1; -1)$, после чего возрастает, пересекая ось $Ox$ в точке $(1{,}25; 0)$ и уходя в $+\infty$. --- ### 4) $y = (x - 1)^3(x + 1)^2$ 1. **Область определения:** $D(y) = \mathbb{R}$. 2. **Точки пересечения с осями координат:** - с осью $Oy$: при $x = 0$: $$ y = (0 - 1)^3(0 + 1)^2 = (-1) \cdot 1 = -1 \implies (0; -1) $$ - с осью $Ox$: $$ (x - 1)^3(x + 1)^2 = 0 \implies x_1 = 1, \quad x_2 = -1 $$ Точки $(-1; 0)$ (касание оси $Ox$, так как корень чётной кратности) и $(1; 0)$ (пересечение с осью $Ox$). 3. **Промежутки монотонности и экстремумы:** Найдём производную функции по правилу дифференцирования произведения: $$ y' = \left((x - 1)^3\right)'(x + 1)^2 + (x - 1)^3\left((x + 1)^2\right)' $$ $$ y' = 3(x - 1)^2(x + 1)^2 + (x - 1)^3 \cdot 2(x + 1) $$ Вынесем общий множитель $(x - 1)^2(x + 1)$ за скобки: $$ y' = (x - 1)^2(x + 1) \cdot \bigl(3(x + 1) + 2(x - 1)\bigr) $$ $$ y' = (x - 1)^2(x + 1)(3x + 3 + 2x - 2) = (x - 1)^2(x + 1)(5x + 1) $$ Стационарные точки: $$ (x - 1)^2(x + 1)(5x + 1) = 0 \implies x_1 = -1, \quad x_2 = -0{,}2, \quad x_3 = 1 $$ Определим знаки производной: - на $(-\infty; -1)$: множители $(x+1) < 0$, $(5x+1) < 0$, $(x-1)^2 > 0 \implies y' > 0$ — функция возрастает; - на $(-1; -0{,}2)$: $(x+1) > 0$, $(5x+1) < 0$, $(x-1)^2 > 0 \implies y' < 0$ — функция убывает; - на $(-0{,}2; 1)$: $(x+1) > 0$, $(5x+1) > 0$, $(x-1)^2 > 0 \implies y' > 0$ — функция возрастает; - на $(1; +\infty)$: все множители положительны $\implies y' > 0$ — функция возрастает. Экстремумы: - $x = -1$ — точка максимума: $$ y_{\max} = y(-1) = 0 $$ - $x = -0{,}2$ — точка минимума: $$ y_{\min} = y(-0{,}2) = (-0{,}2 - 1)^3(-0{,}2 + 1)^2 = (-1{,}2)^3 \cdot (0{,}8)^2 = -1{,}728 \cdot 0{,}64 = -1{,}10592 \approx -1{,}11 $$ - в точке $x = 1$ знак производной не меняется, экстремума нет (точка перегиба с горизонтальной касательной $(1; 0)$). 4. **Построение графика:** Отмечаем точки: максимум $(-1; 0)$, минимум $(-0{,}2; \approx -1{,}11)$, пересечение с $Oy$ в точке $(0; -1)$, перегиб с горизонтальной касательной в точке $(1; 0)$. Кривая возрастает из $-\infty$ до $(-1; 0)$, касается оси $Ox$, убывает до минимума $(-0{,}2; -1{,}11)$, затем возрастает, проходит через $(0; -1)$, выполаживается до горизонтальной касательной в $(1; 0)$ и продолжает возрастать в $+\infty$.