ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 292

**1)** Найдём наибольшее значение функции $f(x) = 3\sqrt{x} - x\sqrt{x}$ на промежутке $x > 0$. Представим функцию в виде степеней: $$ f(x) = 3x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}} $$ Найдём производную функции: $$ f'(x) = 3 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2\sqrt{x}} - \frac{3\sqrt{x}}{2} = \frac{3(1 - x)}{2\sqrt{x}} $$ Приравняем производную к нулю: $$ \frac{3(1 - x)}{2\sqrt{x}} = 0 \implies 1 - x = 0 \implies x = 1 $$ Определим знаки производной на промежутке $(0; +\infty)$: * при $x \in (0; 1)$ производная $f'(x) > 0$, функция возрастает; * при $x \in (1; +\infty)$ производная $f'(x) < 0$, функция убывает. Так как точка $x = 1$ является единственной точкой экстремума на промежутке $(0; +\infty)$, и это точка максимума, то в ней функция принимает своё наибольшее значение: $$ f(1) = 3\sqrt{1} - 1\sqrt{1} = 3 - 1 = 2 $$ Ответ: $2$. --- **2)** Найдём наибольшее значение функции $f(x) = 3x - 2x\sqrt{x}$ на промежутке $x > 0$. Представим функцию в виде: $$ f(x) = 3x - 2x^{\frac{3}{2}} $$ Найдём производную функции: $$ f'(x) = 3 - 2 \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = 3 - 3\sqrt{x} = 3(1 - \sqrt{x}) $$ Приравняем производную к нулю: $$ 3(1 - \sqrt{x}) = 0 \implies \sqrt{x} = 1 \implies x = 1 $$ Определим знаки производной на промежутке $(0; +\infty)$: * при $x \in (0; 1)$ имеем $\sqrt{x} < 1$, следовательно, $f'(x) > 0$, функция возрастает; * при $x \in (1; +\infty)$ имеем $\sqrt{x} > 1$, следовательно, $f'(x) < 0$, функция убывает. Следовательно, $x = 1$ — единственная точка максимума на данном промежутке, и в ней функция достигает наибольшего значения: $$ f(1) = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} = 3 - 2 = 1 $$ Ответ: $1$. --- **3)** Найдём наибольшее значение функции $f(x) = \ln x - x$ на промежутке $x > 0$. Найдём производную функции: $$ f'(x) = \frac{1}{x} - 1 = \frac{1 - x}{x} $$ Приравняем производную к нулю: $$ \frac{1 - x}{x} = 0 \implies 1 - x = 0 \implies x = 1 $$ Определим знаки производной на промежутке $(0; +\infty)$: * при $x \in (0; 1)$ числитель $1 - x > 0$, поэтому $f'(x) > 0$, функция возрастает; * при $x \in (1; +\infty)$ числитель $1 - x < 0$, поэтому $f'(x) < 0$, функция убывает. Так как $x = 1$ — единственная критическая точка на промежутке $(0; +\infty)$, и при переходе через неё производная меняет знак с плюса на минус, $x = 1$ — точка максимума, в которой функция принимает наибольшее значение: $$ f(1) = \ln 1 - 1 = 0 - 1 = -1 $$ Ответ: $-1$. --- **4)** Найдём наибольшее значение функции $f(x) = 2x - e^{2x}$ на интервале $(-1; 1)$. Найдём производную функции: $$ f'(x) = 2 - 2e^{2x} = 2(1 - e^{2x}) $$ Приравняем производную к нулю: $$ 2(1 - e^{2x}) = 0 \implies e^{2x} = 1 \implies 2x = 0 \implies x = 0 $$ Точка $x = 0$ принадлежит интервалу $(-1; 1)$. Определим знаки производной на интервале $(-1; 1)$: * при $x \in (-1; 0)$ степень $2x < 0$, значит, $e^{2x} < 1$, следовательно, $f'(x) > 0$, функция возрастает; * при $x \in (0; 1)$ степень $2x > 0$, значит, $e^{2x} > 1$, следовательно, $f'(x) < 0$, функция убывает. Точка $x = 0$ является единственной точкой максимума функции на интервале $(-1; 1)$, следовательно, в этой точке функция достигает своего наибольшего значения: $$ f(0) = 2 \cdot 0 - e^{2 \cdot 0} = 0 - e^0 = -1 $$ Ответ: $-1$.