ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 291

**291.** **1)** Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \sin x + \cos x$ на отрезке $\left[\pi; \frac{3\pi}{2}\right]$. 1. Функция непрерывна и дифференцируема на всей числовой прямой. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (\sin x + \cos x)' = \cos x - \sin x $$ 2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$: $$ \cos x - \sin x = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $\cos x$ (так как если $\cos x = 0$, то $\sin x \neq 0$, и равенство не выполняется): $$ 1 - \operatorname{tg} x = 0 \implies \operatorname{tg} x = 1 $$ $$ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Отрезку $\left[\pi; \frac{3\pi}{2}\right]$ принадлежит только точка при $k = 1$: $$ x = \frac{5\pi}{4} $$ 3. Вычислим значения функции на концах отрезка и в найденной критической точке: $$ f(\pi) = \sin \pi + \cos \pi = 0 + (-1) = -1 $$ $$ f\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} $$ $$ f\left(\frac{3\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) + \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1 + 0 = -1 $$ 4. Сравним полученные значения: так как $-\sqrt{2} \approx -1{,}41$, то $-\sqrt{2} < -1$. Следовательно: $$ \max_{\left[\pi; \frac{3\pi}{2}\right]} f(x) = f(\pi) = f\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1 $$ $$ \min_{\left[\pi; \frac{3\pi}{2}\right]} f(x) = f\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\sqrt{2} $$ **Ответ к пункту 1:** наибольшее значение равно $-1$, наименьшее значение равно $-\sqrt{2}$. --- **2)** Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \sin x + \cos x$ на отрезке $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$. 1. Найдем производную функции: $$ f'(x) = \cos x - \sin x $$ 2. Найдем критические точки: $$ \cos x - \sin x = 0 \implies \operatorname{tg} x = 1 $$ $$ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Отрезку $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$ принадлежит только точка при $k = 0$: $$ x = \frac{\pi}{4} $$ 3. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке: $$ f(0) = \sin 0 + \cos 0 = 0 + 1 = 1 $$ $$ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} $$ $$ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 + 0 = 1 $$ 4. Сравним полученные значения: так как $\sqrt{2} \approx 1{,}41$, то $\sqrt{2} > 1$. Следовательно: $$ \max_{\left[0; \frac{\pi}{2}\right]} f(x) = f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} $$ $$ \min_{\left[0; \frac{\pi}{2}\right]} f(x) = f(0) = f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $$ **Ответ к пункту 2:** наибольшее значение равно $\sqrt{2}$, наименьшее значение равно $1$.