ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 295

**1)** Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \frac{x^4 + 1}{x^2 + 1}$ на отрезке $[-1; 1]$. Преобразуем выражение функции, выделив целую часть: $$ f(x) = \frac{(x^4 - 1) + 2}{x^2 + 1} = \frac{(x^2 - 1)(x^2 + 1) + 2}{x^2 + 1} = x^2 - 1 + \frac{2}{x^2 + 1} $$ Найдем производную функции: $$ f'(x) = 2x - \frac{2 \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = 2x \left(1 - \frac{2}{(x^2 + 1)^2}\right) = \frac{2x\big((x^2 + 1)^2 - 2\big)}{(x^2 + 1)^2} $$ Найдем критические точки функции, решив уравнение $f'(x) = 0$: $$ 2x\big((x^2 + 1)^2 - 2\big) = 0 $$ Отсюда: 1. $2x = 0 \implies x_1 = 0 \in [-1; 1]$. 2. $(x^2 + 1)^2 - 2 = 0 \implies (x^2 + 1)^2 = 2$. Так как $x^2 + 1 > 0$, получаем: $$ x^2 + 1 = \sqrt{2} \implies x^2 = \sqrt{2} - 1 $$ Поскольку $\sqrt{2} \approx 1{,}414$, то $x^2 \approx 0{,}414 > 0$: $$ x_{2, 3} = \pm\sqrt{\sqrt{2} - 1} $$ Так как $\sqrt{2} - 1 < 1$, то $\sqrt{\sqrt{2} - 1} < 1$, следовательно, обе точки принадлежат отрезку $[-1; 1]$. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критических точках: - На концах отрезка: $$ f(-1) = \frac{(-1)^4 + 1}{(-1)^2 + 1} = \frac{2}{2} = 1 $$ $$ f(1) = \frac{1^4 + 1}{1^2 + 1} = \frac{2}{2} = 1 $$ - В критической точке $x = 0$: $$ f(0) = \frac{0^4 + 1}{0^2 + 1} = 1 $$ - В критических точках $x = \pm\sqrt{\sqrt{2} - 1}$ (с учетом $x^2 = \sqrt{2} - 1$): $$ f\big(\pm\sqrt{\sqrt{2} - 1}\big) = (\sqrt{2} - 1) - 1 + \frac{2}{(\sqrt{2} - 1) + 1} = \sqrt{2} - 2 + \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 2 + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} - 2 $$ Так как $2\sqrt{2} - 2 \approx 2 \cdot 1{,}414 - 2 = 0{,}828 < 1$, то: наибольшее значение функции равно $1$, наименьшее значение функции равно $2\sqrt{2} - 2$. --- **2)** Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = |x^2 + 2x - 3| + \frac{3}{2}\ln x$ на отрезке $\left[\frac{1}{2}; 2\right]$. Раскроем знак модуля. Корни трехчлена $x^2 + 2x - 3 = 0$: $$ (x + 3)(x - 1) = 0 \implies x = -3, \quad x = 1 $$ На отрезке $\left[\frac{1}{2}; 2\right]$ точка $x = 1$ разбивает отрезок на две части: - при $x \in \left[\frac{1}{2}; 1\right]$ выражение $x^2 + 2x - 3 \le 0$, поэтому $|x^2 + 2x - 3| = -x^2 - 2x + 3$; - при $x \in [1; 2]$ выражение $x^2 + 2x - 3 \ge 0$, поэтому $|x^2 + 2x - 3| = x^2 + 2x - 3$. Исследуем функцию на каждом интервале: 1. При $x \in \left(\frac{1}{2}; 1\right)$: $$ f(x) = -x^2 - 2x + 3 + \frac{3}{2}\ln x $$ $$ f'(x) = -2x - 2 + \frac{3}{2x} = \frac{-4x^2 - 4x + 3}{2x} = -\frac{(2x - 1)(2x + 3)}{2x} $$ Для $x \in \left(\frac{1}{2}; 1\right)$ имеем $2x - 1 > 0$, $2x + 3 > 0$, $2x > 0$, следовательно, $f'(x) < 0$. Функция убывает на $\left[\frac{1}{2}; 1\right]$. 2. При $x \in (1; 2)$: $$ f(x) = x^2 + 2x - 3 + \frac{3}{2}\ln x $$ $$ f'(x) = 2x + 2 + \frac{3}{2x} = \frac{4x^2 + 4x + 3}{2x} $$ Дискриминант числителя $D = 16 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = -32 < 0$, следовательно, $4x^2 + 4x + 3 > 0$ при всех $x$. При $x > 0$ получаем $f'(x) > 0$. Функция возрастает на $[1; 2]$. 3. В точке $x = 1$ функция непрерывна и меняет характер монотонности с убывания на возрастание, значит, $x = 1$ — точка минимума: $$ f(1) = |1 + 2 - 3| + \frac{3}{2}\ln 1 = 0 $$ Это наименьшее значение функции на данном отрезке. Наибольшее значение функция принимает на одном из концов отрезка: - при $x = \frac{1}{2}$: $$ f\left(\frac{1}{2}\right) = \left|\frac{1}{4} + 1 - 3\right| + \frac{3}{2}\ln\left(\frac{1}{2}\right) = \left|-\frac{7}{4}\right| - \frac{3}{2}\ln 2 = \frac{7}{4} - \frac{3}{2}\ln 2 $$ - при $x = 2$: $$ f(2) = |4 + 4 - 3| + \frac{3}{2}\ln 2 = 5 + \frac{3}{2}\ln 2 $$ Сравним значения: так как $\ln 2 > 0$, то $f(2) > 5$, а $f\left(\frac{1}{2}\right) < \frac{7}{4} = 1{,}75$. Следовательно, наибольшее значение равно $5 + \frac{3}{2}\ln 2$. --- **Ответ:** 1) наибольшее значение равно $1$, наименьшее значение равно $2\sqrt{2} - 2$; 2) наибольшее значение равно $5 + \frac{3}{2}\ln 2$, наименьшее значение равно $0$.