ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 286

Пусть первое слагаемое равно $x$, тогда второе слагаемое равно $50 - x$. Составим функцию, выражающую сумму кубов этих двух чисел: $$ f(x) = x^3 + (50 - x)^3 $$ Упростим выражение или найдем его производную для определения точки минимума. **1 способ (с помощью производной):** Найдем производную функции $f(x)$: $$ f'(x) = (x^3)' + ((50 - x)^3)' = 3x^2 + 3(50 - x)^2 \cdot (50 - x)' = 3x^2 - 3(50 - x)^2 $$ Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: $$ 3x^2 - 3(50 - x)^2 = 0 $$ $$ x^2 - (50 - x)^2 = 0 $$ Воспользуемся формулой разности квадратов: $$ (x - (50 - x))(x + (50 - x)) = 0 $$ $$ (2x - 50) \cdot 50 = 0 $$ $$ 2x - 50 = 0 $$ $$ x = 25 $$ Определим знаки производной при переходе через точку $x = 25$: - при $x < 25$ производная $f'(x) < 0$ (функция убывает); - при $x > 25$ производная $f'(x) > 0$ (функция возрастает). Следовательно, точка $x = 25$ является точкой минимума функции $f(x)$. **2 способ (алгебраический):** Раскроем скобки в выражении функции: $$ f(x) = x^3 + (50^3 - 3 \cdot 50^2 \cdot x + 3 \cdot 50 \cdot x^2 - x^3) = 150x^2 - 7500x + 125000 $$ Полученная функция является квадратичной, её графиком служит парабола, ветви которой направлены вверх (так как старший коэффициент $150 > 0$). Значит, наименьшее значение функции достигается в вершине параболы: $$ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-7500}{2 \cdot 150} = \frac{7500}{300} = 25 $$ Если первое число равно $x = 25$, то второе число равно: $$ 50 - 25 = 25 $$ Таким образом, число 50 представляется в виде $25 + 25$. Ответ: $25$ и $25$.