ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 287

Пусть искомые положительные числа равны $x$ и $y$. По условию задачи: $$ x \cdot y = 625, \quad \text{где } x > 0, \, y > 0 $$ Выразим $y$ через $x$: $$ y = \frac{625}{x} $$ Сумма квадратов этих чисел выражается функцией: $$ f(x) = x^2 + y^2 = x^2 + \left(\frac{625}{x}\right)^2 = x^2 + \frac{625^2}{x^2}, \quad x \in (0; +\infty) $$ Исследуем функцию $f(x)$ на наименьшее значение с помощью производной: $$ f'(x) = \left(x^2 + 625^2 \cdot x^{-2}\right)' = 2x - 2 \cdot \frac{625^2}{x^3} = \frac{2(x^4 - 625^2)}{x^3} $$ Найдем критические точки функции на промежутке $(0; +\infty)$, решив уравнение $f'(x) = 0$: $$ \frac{2(x^4 - 625^2)}{x^3} = 0 $$ $$ x^4 - 625^2 = 0 $$ Так как $625 = 25^2$, получаем: $$ x^4 = (25^2)^2 = 25^4 $$ С учетом условия $x > 0$: $$ x = 25 $$ Определим знаки производной на интервалах области определения $(0; +\infty)$: - при $x \in (0; 25)$ производная $f'(x) < 0$, следовательно, функция $f(x)$ убывает; - при $x \in (25; +\infty)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция $f(x)$ возрастает. Значит, точка $x = 25$ является точкой минимума функции $f(x)$, и в ней достигается наименьшее значение функции на луче $(0; +\infty)$. Найдем второе число $y$: $$ y = \frac{625}{25} = 25 $$ Таким образом, представление числа 625 в виде произведения имеет вид $25 \cdot 25$. Ответ: $625 = 25 \cdot 25$.