ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 283

**1)** $f(x) = 2\sin x + \cos 2x$ на отрезке $[0; 2\pi]$ Функция непрерывна и дифференцируема на всей числовой прямой, в том числе на отрезке $[0; 2\pi]$. 1. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (2\sin x + \cos 2x)' = 2\cos x - 2\sin 2x $$ Используя формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, преобразуем производную: $$ f'(x) = 2\cos x - 4\sin x \cos x = 2\cos x(1 - 2\sin x) $$ 2. Найдем критические точки функции, решив уравнение $f'(x) = 0$: $$ 2\cos x(1 - 2\sin x) = 0 $$ Отсюда: - $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$ - $1 - 2\sin x = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2} \implies x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$ 3. Выберем критические точки, принадлежащие отрезку $[0; 2\pi]$: - из первой серии: $x_1 = \frac{\pi}{2}$, $x_2 = \frac{3\pi}{2}$; - из второй серии: $x_3 = \frac{\pi}{6}$, $x_4 = \frac{5\pi}{6}$. 4. Вычислим значения функции на концах отрезка и в найденных критических точках: $$ f(0) = 2\sin 0 + \cos 0 = 0 + 1 = 1 $$ $$ f(2\pi) = 2\sin 2\pi + \cos(4\pi) = 0 + 1 = 1 $$ $$ f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\sin\frac{\pi}{6} + \cos\frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 + 0{,}5 = 1{,}5 $$ $$ f\left(\frac{5\pi}{6}\right) = 2\sin\frac{5\pi}{6} + \cos\frac{5\pi}{3} = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 + 0{,}5 = 1{,}5 $$ $$ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\sin\frac{\pi}{2} + \cos\pi = 2 \cdot 1 + (-1) = 1 $$ $$ f\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 2\sin\frac{3\pi}{2} + \cos(3\pi) = 2 \cdot (-1) + (-1) = -2 - 1 = -3 $$ 5. Сравнивая полученные значения, определяем: $$ \max_{[0; 2\pi]} f(x) = 1{,}5, \quad \min_{[0; 2\pi]} f(x) = -3 $$ **Ответ:** наибольшее значение равно $1{,}5$; наименьшее значение равно $-3$. --- **2)** $f(x) = 2\cos x - \cos 2x$ на отрезке $[0; \pi]$ Функция непрерывна и дифференцируема на отрезке $[0; \pi]$. 1. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (2\cos x - \cos 2x)' = -2\sin x - (-\sin 2x \cdot 2) = -2\sin x + 2\sin 2x $$ Используем формулу $\sin 2x = 2\sin x \cos x$: $$ f'(x) = -2\sin x + 4\sin x \cos x = 2\sin x(2\cos x - 1) $$ 2. Найдем критические точки функции, решив уравнение $f'(x) = 0$: $$ 2\sin x(2\cos x - 1) = 0 $$ Отсюда: - $\sin x = 0 \implies x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$ - $2\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2} \implies x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$ 3. Выберем точки, принадлежащие отрезку $[0; \pi]$: - точки $x = 0$ и $x = \pi$ являются концами заданного отрезка; - критическая точка внутри отрезка: $x = \frac{\pi}{3}$. 4. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке: $$ f(0) = 2\cos 0 - \cos 0 = 2 \cdot 1 - 1 = 1 $$ $$ f(\pi) = 2\cos\pi - \cos(2\pi) = 2 \cdot (-1) - 1 = -2 - 1 = -3 $$ $$ f\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2\cos\frac{\pi}{3} - \cos\frac{2\pi}{3} = 2 \cdot \frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right) = 1 + 0{,}5 = 1{,}5 $$ 5. Сравнивая полученные значения, определяем: $$ \max_{[0; \pi]} f(x) = 1{,}5, \quad \min_{[0; \pi]} f(x) = -3 $$ **Ответ:** наибольшее значение равно $1{,}5$; наименьшее значение равно $-3$.