ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 26

По определению, функция $y = f(x)$ называется периодической, если существует такое число $T_0 \neq 0$, что для любого $x$ из области определения функции числа $x - T_0$ и $x + T_0$ также принадлежат её области определения и выполняется равенство: $$ f(x + T_0) = f(x) $$ Число $T_0$ называется периодом функции. По условию задачи существует число $T \neq 0$ такое, что для любого $x$ из области определения выполняется равенство: $$ f(x + T) = -f(x) $$ Рассмотрим значение функции в точке $x + 2T$. Подставим в данное равенство аргумент $x + T$ вместо $x$: $$ f(x + 2T) = f((x + T) + T) = -f(x + T) $$ Так как $f(x + T) = -f(x)$, получаем: $$ f(x + 2T) = -(-f(x)) = f(x) $$ Аналогично проверим равенство для аргумента $x - 2T$. Из условия $f(x) = f((x - T) + T) = -f(x - T)$, следовательно: $$ f(x - T) = -f(x) $$ Применяя это свойство ещё раз к аргументу $x - T$: $$ f(x - 2T) = f((x - T) - T) = -f(x - T) = -(-f(x)) = f(x) $$ Так как $T \neq 0$, то и число $2T \neq 0$. Равенство $f(x + 2T) = f(x)$ выполняется для всех $x$ из области определения. Таким образом, функция $y = f(x)$ является периодической, а число $2T$ является её периодом. Ответ: $2T$.