ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 24

График функции $y = f(x)$ симметричен относительно прямой $x = c$ тогда и только тогда, когда для любого $x \in \mathbb{R}$ выполняется равенство: $$ f(2c - x) = f(x) $$ (действительно, точки $(x; f(x))$ и $(2c - x; f(2c - x))$ равноудалены от прямой $x = c$ и имеют одинаковые ординаты). По условию график функции симметричен относительно прямых $x = a$ и $x = b$. Запишем соответствующие равенства для любого $x \in \mathbb{R}$: 1) Симметрия относительно прямой $x = a$: $$ f(2a - x) = f(x) $$ 2) Симметрия относительно прямой $x = b$: $$ f(2b - x) = f(x) $$ Подставим аргумент $(2a - x)$ вместо переменной $x$ во второе равенство: $$ f(2b - (2a - x)) = f(2a - x) $$ Упростим выражение под знаком функции в левой части: $$ f(x + 2(b - a)) = f(2a - x) $$ Так как по первому равенству $f(2a - x) = f(x)$, получаем: $$ f(x + 2(b - a)) = f(x) $$ для любого $x \in \mathbb{R}$. По условию $a \neq b$, следовательно, число $T = 2|b - a| \neq 0$ и $T > 0$. Если $b > a$, то $f(x + 2(b - a)) = f(x)$, то есть $f(x + T) = f(x)$. Если $b < a$, то заменим в полученном равенстве переменную $x$ на $x - 2(b - a) = x + 2(a - b)$: $$ f(x) = f(x + 2(a - b)) $$ то есть $f(x + T) = f(x)$. Таким образом, для любого $x \in \mathbb{R}$ выполняется равенство $f(x + T) = f(x)$, где $T = 2|b - a| > 0$. Следовательно, функция $y = f(x)$ является периодической, а число $T = 2|a - b|$ является её периодом. Ответ: функция $y = f(x)$ является периодической с периодом $T = 2|a - b|$.