ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 22

Преобразуем выражение, задающее функцию, применив формулы сокращённого умножения и тригонометрические формулы: $$ y = \sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x $$ Так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$, получаем: $$ y = 1^2 - 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\sin 2x\right)^2 = 1 - 2 \cdot \frac{1}{4}\sin^2 2x = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x $$ Применим формулу понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$ для $\alpha = 2x$: $$ y = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \cos 4x}{2} = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x $$ **1. Доказательство периодичности** Область определения функции — вся числовая прямая: $D(y) = \mathbb{R}$. Функция $y = f(x)$ называется периодической, если существует такое число $T \neq 0$, что для любого $x \in D(y)$ выполняется равенство $f(x + T) = f(x)$. Рассмотрим число $T = \frac{\pi}{2}$ и подставим его вместо приращения аргумента: $$ f\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos\left(4\left(x + \frac{\pi}{2}\right)\right) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos(4x + 2\pi) $$ Так как функция косинус периодическая с периодом $2\pi$, то $\cos(4x + 2\pi) = \cos 4x$. Следовательно: $$ f\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x = f(x) $$ Равенство выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$, значит, функция $y = \sin^4 x + \cos^4 x$ является периодической. **2. Нахождение наименьшего положительного периода** Преобразованная функция имеет вид $y = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x$. Наименьший положительный период функции вида $y = A\cos(kx + b) + C$ определяется периодом косинуса и равен: $$ T_0 = \frac{2\pi}{|k|} $$ В нашем случае коэффициент при аргументе $k = 4$, поэтому: $$ T_0 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} $$ Ответ: функция периодическая, её наименьший положительный период равен $\frac{\pi}{2}$.