ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 20

1) $y = \sqrt{\sin x}$ Найдём область определения функции: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $\sin x \ge 0$. Отсюда $x \in [2\pi k; \pi + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$. Проверим значение $T = 2\pi$: - если $x \in D(y)$, то $x \pm 2\pi \in D(y)$, так как $\sin(x \pm 2\pi) = \sin x \ge 0$; - для любого $x$ из области определения: $$ y(x + 2\pi) = \sqrt{\sin(x + 2\pi)} = \sqrt{\sin x} = y(x) $$ Следовательно, число $T = 2\pi$ является периодом данной функции. Функция является периодической. 2) $y = \sin \sqrt{x}$ Область определения функции задаётся условием $x \ge 0$, то есть $D(y) = [0; +\infty)$. По определению периодической функции, если число $T \ne 0$ является её периодом, то для любого $x \in D(y)$ значения $x + T$ и $x - T$ также должны принадлежать $D(y)$. - Если $T > 0$, то при $x = 0 \in D(y)$ значение $x - T = -T < 0$, то есть не принадлежит области определения. - Если $T < 0$, то при $x = 0 \in D(y)$ значение $x + T = T < 0$, что также не принадлежит области определения. Таким образом, не существует числа $T \ne 0$, удовлетворяющего определению периода. Функция не является периодической. 3) $y = |\sin|x||$ Область определения функции — вся числовая прямая: $D(y) = \mathbb{R}$. Упростим выражение функции, используя свойство нечётности синуса $\sin(-x) = -\sin x$: - при $x \ge 0$: $|x| = x$, поэтому $|\sin|x|| = |\sin x|$; - при $x < 0$: $|x| = -x$, поэтому $|\sin|x|| = |\sin(-x)| = |-\sin x| = |\sin x|$. Следовательно, для всех $x \in \mathbb{R}$ справедливо равенство: $$ y = |\sin x| $$ Проверим значение $T = \pi$: для любого $x \in \mathbb{R}$ значение $x \pm \pi \in \mathbb{R}$, и выполняется: $$ y(x + \pi) = |\sin(x + \pi)| = |-\sin x| = |\sin x| = y(x) $$ Значит, число $T = \pi$ является периодом данной функции. Функция является периодической. Ответ: 1) является; 2) не является; 3) является.