ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 219

Дана функция: $$ f(x) = x \sin 2x $$ Требуется найти значение выражения $f'(x) + f(x) + 2$ при $x = \pi$. 1. Найдем производную функции $f(x)$, применив правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ и формулу производной сложной функции: $$ f'(x) = (x)' \cdot \sin 2x + x \cdot (\sin 2x)' $$ $$ f'(x) = 1 \cdot \sin 2x + x \cdot (\cos 2x \cdot (2x)') $$ $$ f'(x) = \sin 2x + 2x \cos 2x $$ 2. Вычислим значение функции $f(x)$ в точке $x = \pi$: $$ f(\pi) = \pi \sin(2\pi) = \pi \cdot 0 = 0 $$ 3. Вычислим значение производной $f'(x)$ в точке $x = \pi$: $$ f'(\pi) = \sin(2\pi) + 2\pi \cos(2\pi) = 0 + 2\pi \cdot 1 = 2\pi $$ 4. Подставим найденные значения в исходное выражение: $$ f'(\pi) + f(\pi) + 2 = 2\pi + 0 + 2 = 2\pi + 2 $$ Ответ: $2\pi + 2$