ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 188

1) Найдём производную функции $f(x) = (2x - 3)^5 (3x^2 + 2x + 1)$. Используем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ и формулу производной сложной функции: $$((2x - 3)^5)' = 5(2x - 3)^4 \cdot (2x - 3)' = 5(2x - 3)^4 \cdot 2 = 10(2x - 3)^4$$ $$(3x^2 + 2x + 1)' = 6x + 2 = 2(3x + 1)$$ Применим формулу произведения: $$f'(x) = 10(2x - 3)^4 (3x^2 + 2x + 1) + (2x - 3)^5 (6x + 2)$$ Вынесем общий множитель $2(2x - 3)^4$ за скобки: $$f'(x) = 2(2x - 3)^4 \left( 5(3x^2 + 2x + 1) + (2x - 3)(3x + 1) \right)$$ Раскроем скобки внутри квадратных скобок и приведём подобные слагаемые: $$5(3x^2 + 2x + 1) = 15x^2 + 10x + 5$$ $$(2x - 3)(3x + 1) = 6x^2 + 2x - 9x - 3 = 6x^2 - 7x - 3$$ $$15x^2 + 10x + 5 + 6x^2 - 7x - 3 = 21x^2 + 3x + 2$$ Таким образом: $$f'(x) = 2(2x - 3)^4 (21x^2 + 3x + 2)$$ **Ответ:** $2(2x - 3)^4 (21x^2 + 3x + 2)$ --- 2) Найдём производную функции $f(x) = (x - 1)^4 (x + 1)^7$. Используем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$: $$((x - 1)^4)' = 4(x - 1)^3 \cdot (x - 1)' = 4(x - 1)^3$$ $$((x + 1)^7)' = 7(x + 1)^6 \cdot (x + 1)' = 7(x + 1)^6$$ Подставим в формулу: $$f'(x) = 4(x - 1)^3 (x + 1)^7 + 7(x - 1)^4 (x + 1)^6$$ Вынесем общий множитель $(x - 1)^3 (x + 1)^6$ за скобки: $$f'(x) = (x - 1)^3 (x + 1)^6 (4(x + 1) + 7(x - 1))$$ Упростим выражение в скобках: $$4(x + 1) + 7(x - 1) = 4x + 4 + 7x - 7 = 11x - 3$$ Получаем: $$f'(x) = (11x - 3)(x - 1)^3 (x + 1)^6$$ **Ответ:** $(11x - 3)(x - 1)^3 (x + 1)^6$ --- 3) Найдём производную функции $f(x) = \sqrt[4]{3x + 2} \cdot (3x - 1)^4$. Запишем корень в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[4]{3x + 2} = (3x + 2)^{\frac{1}{4}}$ (при $x > -\frac{2}{3}$). Найдём производные сомножителей: $$((3x + 2)^{\frac{1}{4}})' = \frac{1}{4}(3x + 2)^{-\frac{3}{4}} \cdot (3x + 2)' = \frac{3}{4\sqrt[4]{(3x + 2)^3}}$$ $$((3x - 1)^4)' = 4(3x - 1)^3 \cdot (3x - 1)' = 4(3x - 1)^3 \cdot 3 = 12(3x - 1)^3$$ По формуле производной произведения: $$f'(x) = \frac{3}{4\sqrt[4]{(3x + 2)^3}} \cdot (3x - 1)^4 + \sqrt[4]{3x + 2} \cdot 12(3x - 1)^3$$ Вынесем $3(3x - 1)^3$ за скобки и приведём к общему знаменателю $4\sqrt[4]{(3x + 2)^3}$: $$f'(x) = 3(3x - 1)^3 \left( \frac{3x - 1}{4\sqrt[4]{(3x + 2)^3}} + 4\sqrt[4]{3x + 2} \right) = 3(3x - 1)^3 \cdot \frac{(3x - 1) + 16(3x + 2)}{4\sqrt[4]{(3x + 2)^3}}$$ Упростим числитель: $$(3x - 1) + 16(3x + 2) = 3x - 1 + 48x + 32 = 51x + 31$$ Получаем: $$f'(x) = \frac{3(51x + 31)(3x - 1)^3}{4\sqrt[4]{(3x + 2)^3}}$$ **Ответ:** $\frac{3(51x + 31)(3x - 1)^3}{4\sqrt[4]{(3x + 2)^3}}$ --- 4) Найдём производную функции $f(x) = \sqrt[3]{2x + 1} \cdot (2x - 3)^3$. Запишем корень в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[3]{2x + 1} = (2x + 1)^{\frac{1}{3}}$ (при $x \neq -\frac{1}{2}$). Найдём производные сомножителей: $$((2x + 1)^{\frac{1}{3}})' = \frac{1}{3}(2x + 1)^{-\frac{2}{3}} \cdot (2x + 1)' = \frac{2}{3\sqrt[3]{(2x + 1)^2}}$$ $$((2x - 3)^3)' = 3(2x - 3)^2 \cdot (2x - 3)' = 3(2x - 3)^2 \cdot 2 = 6(2x - 3)^2$$ По формуле производной произведения: $$f'(x) = \frac{2}{3\sqrt[3]{(2x + 1)^2}} \cdot (2x - 3)^3 + \sqrt[3]{2x + 1} \cdot 6(2x - 3)^2$$ Вынесем общий множитель $2(2x - 3)^2$ за скобки и приведём выражение в скобках к общему знаменателю $3\sqrt[3]{(2x + 1)^2}$: $$f'(x) = 2(2x - 3)^2 \left( \frac{2x - 3}{3\sqrt[3]{(2x + 1)^2}} + 3\sqrt[3]{2x + 1} \right) = 2(2x - 3)^2 \cdot \frac{(2x - 3) + 9(2x + 1)}{3\sqrt[3]{(2x + 1)^2}}$$ Упростим числитель: $$(2x - 3) + 9(2x + 1) = 2x - 3 + 18x + 9 = 20x + 6 = 2(10x + 3)$$ Окончательно получаем: $$f'(x) = \frac{4(10x + 3)(2x - 3)^2}{3\sqrt[3]{(2x + 1)^2}}$$ **Ответ:** $\frac{4(10x + 3)(2x - 3)^2}{3\sqrt[3]{(2x + 1)^2}}$