ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 187

**1)** Найдём производную функции $f(x) = (x + 2)\sqrt[3]{x}$. Раскроем скобки, представив корень в виде степени: $$ f(x) = (x + 2)x^{\frac{1}{3}} = x \cdot x^{\frac{1}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{4}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}} $$ Применим формулу производной степенной функции $(x^n)' = n x^{n-1}$: $$ f'(x) = \left( x^{\frac{4}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}} \right)' = \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1} + 2 \cdot \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{2}{3} x^{-\frac{2}{3}} $$ Запишем результат в виде корней: $$ f'(x) = \frac{4\sqrt[3]{x}}{3} + \frac{2}{3\sqrt[3]{x^2}} = \frac{4x + 2}{3\sqrt[3]{x^2}} $$ Ответ: $\dfrac{4\sqrt[3]{x}}{3} + \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x^2}}$ (или $\dfrac{4x + 2}{3\sqrt[3]{x^2}}$). --- **2)** Найдём производную функции $f(x) = (x + 1)\sqrt{x}$. Раскроем скобки: $$ f(x) = (x + 1)x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} $$ Дифференцируем: $$ f'(x) = \left( x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \right)' = \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} $$ Перейдём к корням: $$ f'(x) = \frac{3\sqrt{x}}{2} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{3x + 1}{2\sqrt{x}} $$ Ответ: $\dfrac{3\sqrt{x}}{2} + \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ (или $\dfrac{3x + 1}{2\sqrt{x}}$). --- **3)** Найдём производную функции $f(x) = \left( \sqrt[4]{x} + \frac{1}{\sqrt[4]{x}} \right)^2$. Раскроем квадрат суммы по формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$ f(x) = (\sqrt[4]{x})^2 + 2 \cdot \sqrt[4]{x} \cdot \frac{1}{\sqrt[4]{x}} + \left(\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)^2 = \sqrt{x} + 2 + \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{\frac{1}{2}} + 2 + x^{-\frac{1}{2}} $$ Дифференцируем каждое слагаемое: $$ f'(x) = \left( x^{\frac{1}{2}} + 2 + x^{-\frac{1}{2}} \right)' = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} + 0 - \frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}} $$ Запишем через корни: $$ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2x\sqrt{x}} = \frac{x - 1}{2x\sqrt{x}} $$ Ответ: $\dfrac{1}{2\sqrt{x}} - \dfrac{1}{2x\sqrt{x}}$ (или $\dfrac{x - 1}{2x\sqrt{x}}$). --- **4)** Найдём производную функции $f(x) = \frac{x^3 + 2}{\sqrt[3]{x}}$. Поделим почленно числитель на знаменатель: $$ f(x) = \frac{x^3}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = x^{3 - \frac{1}{3}} + 2x^{-\frac{1}{3}} = x^{\frac{8}{3}} + 2x^{-\frac{1}{3}} $$ Найдём производную: $$ f'(x) = \left( x^{\frac{8}{3}} + 2x^{-\frac{1}{3}} \right)' = \frac{8}{3} x^{\frac{8}{3} - 1} + 2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) x^{-\frac{1}{3} - 1} = \frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} - \frac{2}{3} x^{-\frac{4}{3}} $$ Перейдём к корням: $$ f'(x) = \frac{8x\sqrt[3]{x^2}}{3} - \frac{2}{3x\sqrt[3]{x}} = \frac{8x^3 - 2}{3x\sqrt[3]{x}} $$ Ответ: $\dfrac{8x\sqrt[3]{x^2}}{3} - \dfrac{2}{3x\sqrt[3]{x}}$ (или $\dfrac{8x^3 - 2}{3x\sqrt[3]{x}}$). --- **5)** Найдём производную функции $f(x) = \left( \sqrt[4]{x} + \frac{1}{\sqrt[4]{x}} \right) \left( \sqrt[4]{x} - \frac{1}{\sqrt[4]{x}} \right)$. Свернём выражение по формуле разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$: $$ f(x) = (\sqrt[4]{x})^2 - \left( \frac{1}{\sqrt[4]{x}} \right)^2 = \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} $$ Дифференцируем: $$ f'(x) = \left( x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} \right)' = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} - \left( -\frac{1}{2} \right) x^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}} $$ Запишем результат в виде корней: $$ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2x\sqrt{x}} = \frac{x + 1}{2x\sqrt{x}} $$ Ответ: $\dfrac{1}{2\sqrt{x}} + \dfrac{1}{2x\sqrt{x}}$ (или $\dfrac{x + 1}{2x\sqrt{x}}$). --- **6)** Найдём производную функции $f(x) = \left( \sqrt{x} - \sqrt[3]{x} \right)^2$. Раскроем квадрат разности по формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$ f(x) = (\sqrt{x})^2 - 2\sqrt{x}\sqrt[3]{x} + (\sqrt[3]{x})^2 = x - 2x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}} = x - 2x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}} = x - 2x^{\frac{5}{6}} + x^{\frac{2}{3}} $$ Найдём производную суммы: $$ f'(x) = \left( x - 2x^{\frac{5}{6}} + x^{\frac{2}{3}} \right)' = 1 - 2 \cdot \frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} - 1} + \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} = 1 - \frac{5}{3} x^{-\frac{1}{6}} + \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}} $$ Запишем через корни: $$ f'(x) = 1 - \frac{5}{3\sqrt[6]{x}} + \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} $$ Ответ: $1 - \dfrac{5}{3\sqrt[6]{x}} + \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}$.