ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 186

Для нахождения производных воспользуемся табличной формулой производной степенной функции $(x^p)' = p x^{p-1}$ и правилами дифференцирования: $(c \cdot u)' = c \cdot u'$, $(u \pm v)' = u' \pm v'$. **1)** Пусть $y = -\frac{2}{x^4}$. Запишем дробь в виде степени с отрицательным показателем: $$ y = -2x^{-4} $$ Найдём производную: $$ y' = (-2x^{-4})' = -2 \cdot (-4)x^{-4 - 1} = 8x^{-5} = \frac{8}{x^5} $$ Ответ: $\frac{8}{x^5}$. --- **2)** Пусть $y = 4x^{\frac{3}{2}}$. Найдём производную: $$ y' = \left(4x^{\frac{3}{2}}\right)' = 4 \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2} - 1} = 6x^{\frac{1}{2}} = 6\sqrt{x} $$ Ответ: $6\sqrt{x}$ (или $6x^{\frac{1}{2}}$). --- **3)** Пусть $y = x^{\frac{3}{2}} + 6x^6$. Применим правило дифференцирования суммы: $$ y' = \left(x^{\frac{3}{2}}\right)' + (6x^6)' = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2} - 1} + 6 \cdot 6x^{6 - 1} = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} + 36x^5 = \frac{3}{2}\sqrt{x} + 36x^5 $$ Ответ: $\frac{3}{2}\sqrt{x} + 36x^5$. --- **4)** Пусть $y = 2\sqrt[7]{x^2} - 3\sqrt[5]{x^{-2}}$. Представим корни в виде степеней с дробными показателями: $$ y = 2x^{\frac{2}{7}} - 3x^{-\frac{2}{5}} $$ Найдём производную: $$ y' = 2 \cdot \frac{2}{7}x^{\frac{2}{7} - 1} - 3 \cdot \left(-\frac{2}{5}\right)x^{-\frac{2}{5} - 1} = \frac{4}{7}x^{-\frac{5}{7}} + \frac{6}{5}x^{-\frac{7}{5}} $$ Запишем результат с помощью корней: $$ y' = \frac{4}{7\sqrt[7]{x^5}} + \frac{6}{5\sqrt[5]{x^7}} $$ Ответ: $\frac{4}{7}x^{-\frac{5}{7}} + \frac{6}{5}x^{-\frac{7}{5}} = \frac{4}{7\sqrt[7]{x^5}} + \frac{6}{5\sqrt[5]{x^7}}$. --- **5)** Пусть $y = 6\sqrt[6]{x^5} - \frac{5}{\sqrt[5]{x^4}}$. Представим слагаемые в виде степеней: $$ y = 6x^{\frac{5}{6}} - 5x^{-\frac{4}{5}} $$ Найдём производную: $$ y' = 6 \cdot \frac{5}{6}x^{\frac{5}{6} - 1} - 5 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right)x^{-\frac{4}{5} - 1} = 5x^{-\frac{1}{6}} + 4x^{-\frac{9}{5}} $$ Запишем результат с помощью корней: $$ y' = \frac{5}{\sqrt[6]{x}} + \frac{4}{\sqrt[5]{x^9}} $$ Ответ: $5x^{-\frac{1}{6}} + 4x^{-\frac{9}{5}} = \frac{5}{\sqrt[6]{x}} + \frac{4}{\sqrt[5]{x^9}}$. --- **6)** Пусть $y = 2x\sqrt[3]{x^2} + \frac{4}{x\sqrt[4]{x^3}}$. Преобразуем выражения, используя свойства степеней: - $x\sqrt[3]{x^2} = x^1 \cdot x^{\frac{2}{3}} = x^{1 + \frac{2}{3}} = x^{\frac{5}{3}}$ - $x\sqrt[4]{x^3} = x^1 \cdot x^{\frac{3}{4}} = x^{1 + \frac{3}{4}} = x^{\frac{7}{4}} \implies \frac{4}{x\sqrt[4]{x^3}} = 4x^{-\frac{7}{4}}$ Функция принимает вид: $$ y = 2x^{\frac{5}{3}} + 4x^{-\frac{7}{4}} $$ Найдём производную: $$ y' = 2 \cdot \frac{5}{3}x^{\frac{5}{3} - 1} + 4 \cdot \left(-\frac{7}{4}\right)x^{-\frac{7}{4} - 1} = \frac{10}{3}x^{\frac{2}{3}} - 7x^{-\frac{11}{4}} $$ Запишем результат с помощью корней: $$ y' = \frac{10}{3}\sqrt[3]{x^2} - \frac{7}{\sqrt[4]{x^{11}}} $$ Ответ: $\frac{10}{3}x^{\frac{2}{3}} - 7x^{-\frac{11}{4}} = \frac{10}{3}\sqrt[3]{x^2} - \frac{7}{\sqrt[4]{x^{11}}}$.