ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 176

1) Запишем формулу сложной функции $f(g(x))$. Подставим выражение для $y = g(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ в функцию $f(y) = \sqrt{y^2 - 1}$: $$ f(g(x)) = \sqrt{\left(\sqrt{x^2 + 1}\right)^2 - 1} = \sqrt{x^2 + 1 - 1} = \sqrt{x^2} = |x| $$ Найдем производную полученной функции $(f(g(x)))'$. Дифференцируя выражение $f(g(x)) = \sqrt{x^2}$ как сложную функцию (или раскрывая модуль при $x \neq 0$): $$ (f(g(x)))' = (\sqrt{x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2}} \cdot (x^2)' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2}} = \frac{x}{\sqrt{x^2}} = \frac{x}{|x|} $$ При $x = 0$ производная не существует. Таким образом: $$ (f(g(x)))' = \begin{cases} 1, & \text{если } x > 0, \\ -1, & \text{если } x < 0 \end{cases} $$ **Ответ к п. 1:** $f(g(x)) = |x|$; $(f(g(x)))' = \frac{x}{|x|}$ при $x \neq 0$ (или $1$ при $x > 0$ и $-1$ при $x < 0$). --- 2) Запишем формулу сложной функции $f(g(x))$. Подставим выражение для $y = g(x) = \cos x$ в функцию $f(y) = \sqrt{1 - y^2}$: $$ f(g(x)) = \sqrt{1 - \cos^2 x} $$ Используя основное тригонометрическое тождество $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$, получаем: $$ f(g(x)) = \sqrt{\sin^2 x} = |\sin x| $$ Найдем производную полученной функции $(f(g(x)))'$: $$ (f(g(x)))' = (\sqrt{\sin^2 x})' = \frac{1}{2\sqrt{\sin^2 x}} \cdot (\sin^2 x)' = \frac{2\sin x \cos x}{2\sqrt{\sin^2 x}} = \frac{\sin x \cos x}{|\sin x|} $$ Производная существует при $\sin x \neq 0$, то есть при $x \neq \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$: $$ (f(g(x)))' = \begin{cases} \cos x, & \text{если } \sin x > 0, \\ -\cos x, & \text{если } \sin x < 0 \end{cases} $$ **Ответ к п. 2:** $f(g(x)) = |\sin x|$; $(f(g(x)))' = \frac{\sin x \cos x}{|\sin x|}$ при $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$ (или $\cos x$ при $\sin x > 0$ и $-\cos x$ при $\sin x < 0$).