ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 15

По определению, функция $y = f(x)$ называется периодической с периодом $T \ne 0$, если для любого $x$ из области её определения числа $(x + T)$ и $(x - T)$ также принадлежат области определения и выполняется равенство: $$ f(x + T) = f(x) $$ **1)** $y = \sin 2x$, $T = \pi$ Область определения функции — множество всех действительных чисел: $D(f) = \mathbb{R}$. Если $x \in \mathbb{R}$, то и $(x + \pi) \in \mathbb{R}$. Проверим выполнение равенства $f(x + T) = f(x)$: $$ f(x + \pi) = \sin(2(x + \pi)) = \sin(2x + 2\pi) $$ Так как функция синус периодическая с периодом $2\pi$, то $\sin(2x + 2\pi) = \sin 2x$. Получаем: $$ f(x + \pi) = \sin 2x = f(x) $$ Равенство $f(x + \pi) = f(x)$ выполняется для любого $x \in \mathbb{R}$, следовательно, функция $y = \sin 2x$ является периодической с периодом $T = \pi$. Что и требовалось доказать. --- **2)** $y = \cos \frac{x}{2}$, $T = 4\pi$ Область определения функции: $D(f) = \mathbb{R}$. Если $x \in \mathbb{R}$, то и $(x + 4\pi) \in \mathbb{R}$. Проверим условие периодичности: $$ f(x + 4\pi) = \cos\left(\frac{x + 4\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{x}{2} + 2\pi\right) $$ Так как косинус имеет период $2\pi$, то $\cos\left(\frac{x}{2} + 2\pi\right) = \cos \frac{x}{2}$. Получаем: $$ f(x + 4\pi) = \cos \frac{x}{2} = f(x) $$ Равенство выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$, значит, функция $y = \cos \frac{x}{2}$ является периодической с периодом $T = 4\pi$. Что и требовалось доказать. --- **3)** $y = \tg 2x$, $T = \frac{\pi}{2}$ Область определения функции состоит из всех действительных чисел, для которых $2x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$, то есть $x \ne \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$. Если $x \in D(f)$, то и $\left(x + \frac{\pi}{2}\right) \in D(f)$. Проверим условие периодичности: $$ f\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \tg\left(2\left(x + \frac{\pi}{2}\right)\right) = \tg(2x + \pi) $$ Так как функция тангенс имеет период $\pi$, то $\tg(2x + \pi) = \tg 2x$. Получаем: $$ f\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \tg 2x = f(x) $$ Равенство выполняется для всех допустимых значений $x$, следовательно, функция $y = \tg 2x$ является периодической с периодом $T = \frac{\pi}{2}$. Что и требовалось доказать. --- **4)** $y = \sin \frac{4x}{5}$, $T = \frac{5}{2}\pi$ Область определения функции: $D(f) = \mathbb{R}$. Если $x \in \mathbb{R}$, то и $\left(x + \frac{5}{2}\pi\right) \in \mathbb{R}$. Проверим условие периодичности: $$ f\left(x + \frac{5}{2}\pi\right) = \sin\left(\frac{4}{5}\left(x + \frac{5}{2}\pi\right)\right) = \sin\left(\frac{4x}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{5\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{4x}{5} + 2\pi\right) $$ Так как функция синус имеет период $2\pi$, то $\sin\left(\frac{4x}{5} + 2\pi\right) = \sin \frac{4x}{5}$. Получаем: $$ f\left(x + \frac{5}{2}\pi\right) = \sin \frac{4x}{5} = f(x) $$ Равенство верно для любого $x \in \mathbb{R}$, значит, функция $y = \sin \frac{4x}{5}$ является периодической с периодом $T = \frac{5}{2}\pi$. Что и требовалось доказать.