ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 132

**1)** Решим неравенство $\sin x \geqslant \cos x$. Перенесём все слагаемые в левую часть: $$ \sin x - \cos x \geqslant 0 $$ Применим метод вспомогательного угла. Разделим обе части неравенства на $\sqrt{2}$ (или умножим на $\frac{\sqrt{2}}{2}$): $$ \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x \geqslant 0 $$ Так как $\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4}$, свернём левую часть по формуле синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$: $$ \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \geqslant 0 $$ Решим простейшее тригонометрическое неравенство относительно аргумента $t = x - \frac{\pi}{4}$. Синус неотрицателен в I и II четвертях числовой окружности: $$ 2\pi k \leqslant x - \frac{\pi}{4} \leqslant \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Прибавим $\frac{\pi}{4}$ ко всем частям двойного неравенства: $$ \frac{\pi}{4} + 2\pi k \leqslant x \leqslant \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $$ x \in \left[\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{5\pi}{4} + 2\pi k\right], \quad k \in \mathbb{Z} $$ --- **2)** Решим неравенство $\tan x > \sin x$. Область допустимых значений определяется условием существования тангенса: $\cos x \ne 0$, то есть $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Перенесём $\sin x$ в левую часть и выразим тангенс через отношение синуса к косинусу: $$ \frac{\sin x}{\cos x} - \sin x > 0 $$ Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки и приведём выражение в скобках к общему знаменателю: $$ \sin x \left(\frac{1}{\cos x} - 1\right) > 0 $$ $$ \frac{\sin x (1 - \cos x)}{\cos x} > 0 $$ Проанализируем множитель $(1 - \cos x)$: - Так как для любого $x$ справедливо неравенство $-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$, то $1 - \cos x \geqslant 0$. - Выражение $1 - \cos x = 0$ только при $\cos x = 1$, то есть при $x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Однако при этих значениях $x$ числитель равен нулю, и строгое неравенство не выполняется. Следовательно, при всех допустимых $x \ne 2\pi k$ множитель $1 - \cos x$ строго положителен ($1 - \cos x > 0$). Разделив на него обе части неравенства, получаем равносильное неравенство: $$ \frac{\sin x}{\cos x} > 0 $$ $$ \tan x > 0 $$ (Заметим, что условие $\tan x > 0$ автоматически исключает точки, где $\sin x = 0$, то есть точки $x = \pi k$). Решим неравенство $\tan x > 0$: тангенс положителен в I и III четвертях числовой окружности. С учётом периода $\pi$ получаем: $$ \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $$ x \in \left(\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z} $$