ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 131

1) Преобразуем данное выражение с помощью метода вспомогательного угла: $$ y = 12\sin x - 5\cos x $$ Вынесем за скобки число $\sqrt{12^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$: $$ y = 13 \left( \frac{12}{13}\sin x - \frac{5}{13}\cos x \right) $$ Так как $\left(\frac{12}{13}\right)^2 + \left(\frac{5}{13}\right)^2 = \frac{144}{169} + \frac{25}{169} = 1$, существует такой угол $\varphi$, что $\cos \varphi = \frac{12}{13}$ и $\sin \varphi = \frac{5}{13}$. Применяя формулу синуса разности $\sin(x - \varphi) = \sin x \cos \varphi - \cos x \sin \varphi$, получаем: $$ y = 13\sin(x - \varphi) $$ Так как для любого аргумента справедливо неравенство: $$ -1 \le \sin(x - \varphi) \le 1 $$ умножим все части неравенства на $13$: $$ -13 \le 13\sin(x - \varphi) \le 13 $$ $$ -13 \le y \le 13 $$ Следовательно, множество значений функции — отрезок $[-13; 13]$. Ответ: $[-13; 13]$. --- 2) Выразим $\cos^2 x$ через $\sin x$, используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$: $$ y = (1 - \sin^2 x) - \sin x = -\sin^2 x - \sin x + 1 $$ Пусть $t = \sin x$. Так как $-1 \le \sin x \le 1$, переменная $t$ принимает значения из отрезка $[-1; 1]$. Рассмотрим квадратичную функцию: $$ f(t) = -t^2 - t + 1, \quad t \in [-1; 1] $$ Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $t^2$ равен $-1 < 0$). Найдем абсциссу вершины параболы: $$ t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot (-1)} = -\frac{1}{2} $$ Значение $t_0 = -\frac{1}{2}$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$. В вершине функция принимает наибольшее значение: $$ f\left(-\frac{1}{2}\right) = -\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - \left(-\frac{1}{2}\right) + 1 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{5}{4} = 1{,}25 $$ Вычислим значения функции на концах отрезка $[-1; 1]$: $$ f(-1) = -(-1)^2 - (-1) + 1 = -1 + 1 + 1 = 1 $$ $$ f(1) = -(1)^2 - 1 + 1 = -1 $$ Наименьшее из этих значений равно $-1$, а наибольшее равно $\frac{5}{4}$. В силу непрерывности квадратичной функции её значения заполняют весь отрезок от наименьшего до наибольшего. Значит, множество значений функции — отрезок $\left[-1; \frac{5}{4}\right]$ (или $[-1; 1{,}25]$). Ответ: $\left[-1; \frac{5}{4}\right]$.