ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 118

### 1) $1 + 2 \cos x \geqslant 0$ Преобразуем неравенство: $$ 2 \cos x \geqslant -1 \iff \cos x \geqslant -\frac{1}{2} $$ Общее решение неравенства $\cos x \geqslant -\frac{1}{2}$: $$ -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \leqslant x \leqslant \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Найдем решения, принадлежащие промежутку $[-2\pi; -\pi]$. При $k = -1$: $$ -\frac{2\pi}{3} - 2\pi \leqslant x \leqslant \frac{2\pi}{3} - 2\pi \iff -\frac{8\pi}{3} \leqslant x \leqslant -\frac{4\pi}{3} $$ Пересечем этот отрезок с промежутком $[-2\pi; -\pi]$: так как $-\frac{8\pi}{3} < -2\pi < -\frac{4\pi}{3} < -\pi$, получаем: $$ -2\pi \leqslant x \leqslant -\frac{4\pi}{3} $$ При других значениях $k \in \mathbb{Z}$ решения не попадают в промежуток $[-2\pi; -\pi]$. **Ответ:** $\left[-2\pi; -\frac{4\pi}{3}\right]$ --- ### 2) $1 - 2\sin x < 0$ Преобразуем неравенство: $$ -2\sin x < -1 \iff \sin x > \frac{1}{2} $$ Общее решение неравенства $\sin x > \frac{1}{2}$: $$ \frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Найдем решения, принадлежащие промежутку $[-2\pi; -\pi]$. При $k = -1$: $$ \frac{\pi}{6} - 2\pi < x < \frac{5\pi}{6} - 2\pi \iff -\frac{11\pi}{6} < x < -\frac{7\pi}{6} $$ Так как $-2\pi = -\frac{12\pi}{6} < -\frac{11\pi}{6}$ и $-\frac{7\pi}{6} < -\frac{6\pi}{6} = -\pi$, данный интервал целиком лежит внутри $[-2\pi; -\pi]$. При других значениях $k \in \mathbb{Z}$ решения выходят за пределы промежутка $[-2\pi; -\pi]$. **Ответ:** $\left(-\frac{11\pi}{6}; -\frac{7\pi}{6}\right)$ --- ### 3) $2 + \tan x > 0$ Преобразуем неравенство: $$ \tan x > -2 $$ Общее решение неравенства $\tan x > -2$: $$ -\arctan 2 + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Найдем решения, принадлежащие отрезку $[-2\pi; -\pi]$. При $k = -2$: $$ -\arctan 2 - 2\pi < x < \frac{\pi}{2} - 2\pi \iff -2\pi - \arctan 2 < x < -\frac{3\pi}{2} $$ Так как $\arctan 2 > 0$, левая граница $-2\pi - \arctan 2 < -2\pi$. Пересекая интервал с промежутком $[-2\pi; -\pi]$, получаем: $$ -2\pi \leqslant x < -\frac{3\pi}{2} $$ При $k = -1$: $$ -\arctan 2 - \pi < x < \frac{\pi}{2} - \pi \iff -\pi - \arctan 2 < x < -\frac{\pi}{2} $$ Так как $0 < \arctan 2 < \frac{\pi}{2}$, получаем $-\frac{3\pi}{2} < -\pi - \arctan 2 < -\pi$. Правая граница $-\frac{\pi}{2} > -\pi$. Пересекая интервал с отрезком $[-2\pi; -\pi]$, получаем: $$ -\pi - \arctan 2 < x \leqslant -\pi $$ При остальных значениях $k \in \mathbb{Z}$ пересечение с отрезком $[-2\pi; -\pi]$ пусто. **Ответ:** $\left[-2\pi; -\frac{3\pi}{2}\right) \cup (-\pi - \arctan 2; -\pi]$ --- ### 4) $1 - 2\tan x \leqslant 0$ Преобразуем неравенство: $$ -2\tan x \leqslant -1 \iff \tan x \geqslant \frac{1}{2} $$ Общее решение неравенства $\tan x \geqslant \frac{1}{2}$: $$ \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k \leqslant x < \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Найдем решения, принадлежащие отрезку $[-2\pi; -\pi]$. При $k = -2$: $$ \arctan\left(\frac{1}{2}\right) - 2\pi \leqslant x < \frac{\pi}{2} - 2\pi \iff -2\pi + \arctan\left(\frac{1}{2}\right) \leqslant x < -\frac{3\pi}{2} $$ Поскольку $0 < \arctan\left(\frac{1}{2}\right) < \frac{\pi}{2}$, левая граница $-2\pi < -2\pi + \arctan\left(\frac{1}{2}\right) < -\frac{3\pi}{2}$, а правая граница $-\frac{3\pi}{2} < -\pi$. Этот промежуток полностью лежит внутри отрезка $[-2\pi; -\pi]$. При $k = -1$: $$ - \pi + \arctan\left(\frac{1}{2}\right) \leqslant x < -\frac{\pi}{2} $$ Так как $\arctan\left(\frac{1}{2}\right) > 0$, левая граница $-\pi + \arctan\left(\frac{1}{2}\right) > -\pi$, следовательно, при $k = -1$ решений на отрезке $[-2\pi; -\pi]$ нет. При остальных значениях $k \in \mathbb{Z}$ интервалы также лежат вне отрезка $[-2\pi; -\pi]$. **Ответ:** $\left[-2\pi + \arctan\left(\frac{1}{2}\right); -\frac{3\pi}{2}\right)$