ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 117

1) $2\cos x + \sqrt{3} = 0$ Преобразуем уравнение: $$ 2\cos x = -\sqrt{3} $$ $$ \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$ Найдём общее решение уравнения: $$ x = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \pm \left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Отберём корни, принадлежащие промежутку $[0; 3\pi]$: Для серии $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$: - при $k = 0$: $x = \frac{5\pi}{6} \in [0; 3\pi]$; - при $k = 1$: $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6} \in [0; 3\pi]$; - при $k = 2$: $x = \frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{29\pi}{6} > 3\pi$; - при $k < 0$: значения $x < 0$. Для серии $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$: - при $k \le 0$: значения $x < 0$; - при $k = 1$: $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{7\pi}{6} \in [0; 3\pi]$; - при $k = 2$: $x = -\frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{19\pi}{6} > 3\pi$. Ответ: $\frac{5\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}; \frac{17\pi}{6}$. --- 2) $\sqrt{3} - \sin x = \sin x$ Перенесём $\sin x$ в правую часть: $$ 2\sin x = \sqrt{3} $$ $$ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ Общее решение уравнения распадается на две серии: $$ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \quad \text{и} \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Отберём корни, принадлежащие промежутку $[0; 3\pi]$: Для первой серии $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$: - при $k = 0$: $x = \frac{\pi}{3} \in [0; 3\pi]$; - при $k = 1$: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} \in [0; 3\pi]$; - при $k = 2$: $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi > 3\pi$; - при $k < 0$: $x < 0$. Для второй серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$: - при $k = 0$: $x = \frac{2\pi}{3} \in [0; 3\pi]$; - при $k = 1$: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} \in [0; 3\pi]$; - при $k = 2$: $x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi > 3\pi$; - при $k < 0$: $x < 0$. Ответ: $\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}; \frac{8\pi}{3}$. --- 3) $3\tan x = \sqrt{3}$ Разделим обе части на $3$: $$ \tan x = \frac{\sqrt{3}}{3} $$ Найдём общее решение уравнения: $$ x = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Отберём корни, принадлежащие отрезку $[0; 3\pi]$: $$ 0 \le \frac{\pi}{6} + \pi k \le 3\pi $$ Разделим неравенство на $\pi$: $$ 0 \le \frac{1}{6} + k \le 3 $$ $$ -\frac{1}{6} \le k \le 2\frac{5}{6} $$ Так как $k \in \mathbb{Z}$, получаем $k \in \{0; 1; 2\}$: - при $k = 0$: $x = \frac{\pi}{6}$; - при $k = 1$: $x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$; - при $k = 2$: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$. Ответ: $\frac{\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}; \frac{13\pi}{6}$. --- 4) $\cos x + 1 = 0$ Выразим $\cos x$: $$ \cos x = -1 $$ Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения: $$ x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Отберём корни, принадлежащие отрезку $[0; 3\pi]$: - при $k = 0$: $x = \pi \in [0; 3\pi]$; - при $k = 1$: $x = \pi + 2\pi = 3\pi \in [0; 3\pi]$; - при $k \ge 2$: $x \ge 5\pi > 3\pi$; - при $k \le -1$: $x \le -\pi < 0$. Ответ: $\pi; 3\pi$.