ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1136

### 1) Вычислим интеграл: $$ \int \limits_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin x \, dx $$ Одной из первообразных функции $f(x) = \sin x$ является $F(x) = -\cos x$. По формуле Ньютона — Лейбница: $$ \int \limits_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin x \, dx = \left. (-\cos x) \right|_{-\pi/2}^{\pi/2} = -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - \left(-\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) $$ Так как $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ и $\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0$: $$ -0 - (-0) = 0 $$ **Ответ:** $0$. --- ### 2) Вычислим интеграл: $$ \int \limits_0^{\pi/3} \cos x \, dx $$ Одной из первообразных функции $f(x) = \cos x$ является $F(x) = \sin x$. По формуле Ньютона — Лейбница: $$ \int \limits_0^{\pi/3} \cos x \, dx = \left. \sin x \right|_0^{\pi/3} = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) - \sin 0 = \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ **Ответ:** $\frac{\sqrt{3}}{2}$. --- ### 3) Вычислим интеграл: $$ \int \limits_{-2}^{1} (x^2 + 2x + 3) \, dx $$ Найдём первообразную многочлена: $$ F(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 + 3x $$ Применим формулу Ньютона — Лейбница: $$ \int \limits_{-2}^{1} (x^2 + 2x + 3) \, dx = \left. \left(\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x\right) \right|_{-2}^{1} $$ Подставим пределы интегрирования: - при $x = 1$: $$ F(1) = \frac{1^3}{3} + 1^2 + 3 \cdot 1 = \frac{1}{3} + 1 + 3 = 4\frac{1}{3} = \frac{13}{3} $$ - при $x = -2$: $$ F(-2) = \frac{(-2)^3}{3} + (-2)^2 + 3 \cdot (-2) = -\frac{8}{3} + 4 - 6 = -\frac{8}{3} - 2 = -\frac{14}{3} $$ Вычислим разность: $$ F(1) - F(-2) = \frac{13}{3} - \left(-\frac{14}{3}\right) = \frac{27}{3} = 9 $$ **Ответ:** $9$. --- ### 4) Вычислим интеграл: $$ \int \limits_1^2 (x^2 - 6x + 8) \, dx $$ Найдём первообразную функции: $$ F(x) = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 8x $$ По формуле Ньютона — Лейбница: $$ \int \limits_1^2 (x^2 - 6x + 8) \, dx = \left. \left(\frac{x^3}{3} - 3x^2 + 8x\right) \right|_1^2 $$ Подставим пределы: - при $x = 2$: $$ F(2) = \frac{2^3}{3} - 3 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2 = \frac{8}{3} - 12 + 16 = \frac{8}{3} + 4 = \frac{20}{3} $$ - при $x = 1$: $$ F(1) = \frac{1^3}{3} - 3 \cdot 1^2 + 8 \cdot 1 = \frac{1}{3} - 3 + 8 = \frac{1}{3} + 5 = \frac{16}{3} $$ Вычислим разность: $$ F(2) - F(1) = \frac{20}{3} - \frac{16}{3} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} $$ **Ответ:** $1\frac{1}{3}$. --- ### 5) Вычислим интеграл: $$ \int \limits_1^3 (x^{-2} + 1) \, dx $$ Найдём первообразную функции, используя формулу $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$: $$ F(x) = \frac{x^{-1}}{-1} + x = -\frac{1}{x} + x $$ По формуле Ньютона — Лейбница: $$ \int \limits_1^3 (x^{-2} + 1) \, dx = \left. \left(-\frac{1}{x} + x\right) \right|_1^3 $$ Подставим пределы интегрирования: - при $x = 3$: $$ F(3) = -\frac{1}{3} + 3 = \frac{8}{3} $$ - при $x = 1$: $$ F(1) = -\frac{1}{1} + 1 = 0 $$ Вычислим разность: $$ F(3) - F(1) = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} $$ **Ответ:** $2\frac{2}{3}$. --- ### 6) Вычислим интеграл: $$ \int \limits_{-1}^1 \frac{2}{5 - 4x} \, dx $$ Поскольку $(\ln|5 - 4x|)' = \frac{-4}{5 - 4x}$, то первообразной для $f(x) = \frac{2}{5 - 4x}$ является: $$ F(x) = 2 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) \ln|5 - 4x| = -\frac{1}{2}\ln|5 - 4x| $$ По формуле Ньютона — Лейбница: $$ \int \limits_{-1}^1 \frac{2}{5 - 4x} \, dx = \left. \left(-\frac{1}{2}\ln|5 - 4x|\right) \right|_{-1}^1 $$ Подставим пределы: - при $x = 1$: $$ F(1) = -\frac{1}{2}\ln|5 - 4| = -\frac{1}{2}\ln 1 = 0 $$ - при $x = -1$: $$ F(-1) = -\frac{1}{2}\ln|5 - 4(-1)| = -\frac{1}{2}\ln 9 $$ Вычислим разность: $$ F(1) - F(-1) = 0 - \left(-\frac{1}{2}\ln 9\right) = \frac{1}{2}\ln(3^2) = \ln 3 $$ **Ответ:** $\ln 3$.