ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1135

1) Вычислим интеграл $\int_{2}^{9} \sqrt[3]{x-1} \, dx$. Представим корень в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[3]{x-1} = (x-1)^{\frac{1}{3}}$. Найдем первообразную по формуле $\int (x+a)^n dx = \frac{(x+a)^{n+1}}{n+1}$: $$ \int_{2}^{9} (x-1)^{\frac{1}{3}} \, dx = \left. \frac{(x-1)^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} \right|_{2}^{9} = \left. \frac{3}{4} (x-1)^{\frac{4}{3}} \right|_{2}^{9} $$ Применим формулу Ньютона—Лейбница: $$ \frac{3}{4} (9-1)^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} (2-1)^{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} $$ Так как $8^{\frac{4}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^4 = 2^4 = 16$, получаем: $$ \frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 1 = 12 - \frac{3}{4} = 11\frac{1}{4} = 11{,}25 $$ 2) Вычислим интеграл $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} (2\cos^2 x - 1) \, dx$. Используем тригонометрическую формулу косинуса двойного угла: $2\cos^2 x - 1 = \cos 2x$. Тогда интеграл принимает вид: $$ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \cos 2x \, dx = \left. \frac{1}{2} \sin 2x \right|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} $$ Вычислим разность значений первообразной на пределах интегрирования: $$ \frac{1}{2} \left( \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) - \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) \right) = \frac{1}{2} \left( \sin\frac{\pi}{2} - \sin\frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{2 - \sqrt{3}}{4} $$ 3) Вычислим интеграл $\int_{3}^{4} \frac{x^2 + 3}{x-2} \, dx$. Выделим целую часть дроби в подынтегральном выражении: $$ \frac{x^2 + 3}{x-2} = \frac{x^2 - 4 + 7}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2) + 7}{x-2} = x + 2 + \frac{7}{x-2} $$ Интегрируем полученную сумму почленно: $$ \int_{3}^{4} \left( x + 2 + \frac{7}{x-2} \right) dx = \left. \left( \frac{x^2}{2} + 2x + 7\ln|x-2| \right) \right|_{3}^{4} $$ Подставим пределы интегрирования по формуле Ньютона—Лейбница: $$ \left( \frac{4^2}{2} + 2 \cdot 4 + 7\ln|4-2| \right) - \left( \frac{3^2}{2} + 2 \cdot 3 + 7\ln|3-2| \right) $$ $$ = (8 + 8 + 7\ln 2) - \left( \frac{9}{2} + 6 + 7\ln 1 \right) $$ Так как $\ln 1 = 0$, получаем: $$ = 16 + 7\ln 2 - 10{,}5 = 5{,}5 + 7\ln 2 = \frac{11}{2} + 7\ln 2 $$ 4) Вычислим интеграл $\int_{0}^{6} x \sqrt{36 - x^2} \, dx$. Применим метод замены переменной. Пусть $t = 36 - x^2$. Тогда $dt = (36 - x^2)' \, dx = -2x \, dx$, откуда $x \, dx = -\frac{1}{2} \, dt$. Пересчитаем пределы интегрирования: - при $x = 0$: $t = 36 - 0^2 = 36$; - при $x = 6$: $t = 36 - 6^2 = 0$. Перейдем к новой переменной: $$ \int_{0}^{6} x \sqrt{36 - x^2} \, dx = \int_{36}^{0} \sqrt{t} \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{36} t^{\frac{1}{2}} \, dt $$ Вычислим определенный интеграл: $$ \left. \frac{1}{2} \cdot \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right|_{0}^{36} = \left. \frac{1}{3} t^{\frac{3}{2}} \right|_{0}^{36} = \frac{1}{3} \left( 36^{\frac{3}{2}} - 0 \right) = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{36})^3 = \frac{1}{3} \cdot 6^3 = \frac{216}{3} = 72 $$ **Ответ:** 1) $11{,}25$; 2) $\frac{2 - \sqrt{3}}{4}$; 3) $5{,}5 + 7\ln 2$; 4) $72$.