ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 109

1) $y = 1 - 2\sin^2 x$ Используем формулу косинуса двойного угла: $$ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x $$ Тогда исходная функция принимает вид: $$ y = \cos 2x $$ Так как для любого $x \in \mathbb{R}$ область значений косинуса определяется неравенством: $$ -1 \le \cos 2x \le 1 $$ то $-1 \le y \le 1$. Ответ: $E(y) = [-1; 1]$. --- 2) $y = 2\cos^2 x - 1$ Используем формулу косинуса двойного угла: $$ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 $$ Преобразуем функцию: $$ y = \cos 2x $$ Так как косинус принимает значения на отрезке $[-1; 1]$: $$ -1 \le \cos 2x \le 1 $$ получаем $-1 \le y \le 1$. Ответ: $E(y) = [-1; 1]$. --- 3) $y = 3 - 2\sin^2 x$ Преобразуем выражение, выделив формулу косинуса двойного угла: $$ y = 2 + (1 - 2\sin^2 x) = 2 + \cos 2x $$ Так как $-1 \le \cos 2x \le 1$, оценим значение выражения $2 + \cos 2x$: $$ 2 + (-1) \le 2 + \cos 2x \le 2 + 1 $$ $$ 1 \le y \le 3 $$ Ответ: $E(y) = [1; 3]$. --- 4) $y = 2\cos^2 x + 5$ Преобразуем выражение, выделив формулу косинуса двойного угла: $$ y = (2\cos^2 x - 1) + 6 = \cos 2x + 6 $$ Так как $-1 \le \cos 2x \le 1$, оценим значение выражения $\cos 2x + 6$: $$ -1 + 6 \le \cos 2x + 6 \le 1 + 6 $$ $$ 5 \le y \le 7 $$ Ответ: $E(y) = [5; 7]$. --- 5) $y = \cos 3x \sin x - \sin 3x \cos x + 4$ Используем формулу синуса разности аргументов $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$: $$ \cos 3x \sin x - \sin 3x \cos x = -(\sin 3x \cos x - \cos 3x \sin x) = -\sin(3x - x) = -\sin 2x $$ Тогда функция имеет вид: $$ y = 4 - \sin 2x $$ Так как $-1 \le \sin 2x \le 1$, то $-1 \le -\sin 2x \le 1$. Прибавим 4 ко всем частям двойного неравенства: $$ 4 - 1 \le 4 - \sin 2x \le 4 + 1 $$ $$ 3 \le y \le 5 $$ Ответ: $E(y) = [3; 5]$. --- 6) $y = \cos 2x \cos x + \sin 2x \sin x - 3$ Используем формулу косинуса разности аргументов $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$: $$ \cos 2x \cos x + \sin 2x \sin x = \cos(2x - x) = \cos x $$ Тогда функция принимает вид: $$ y = \cos x - 3 $$ Так как $-1 \le \cos x \le 1$, вычтем 3 из всех частей двойного неравенства: $$ -1 - 3 \le \cos x - 3 \le 1 - 3 $$ $$ -4 \le y \le -2 $$ Ответ: $E(y) = [-4; -2]$.