ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 108

1) $y = \sin x + \cos x$ Функции $y = \sin x$ и $y = \cos x$ определены при любых действительных значениях переменной $x$. Следовательно, их сумма также определена на всей числовой прямой. Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$ (или $x \in \mathbb{R}$). --- 2) $y = \sin x + \operatorname{tg} x$ Так как $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$, функция имеет смысл тогда и только тогда, когда знаменатель дроби не равен нулю: $$ \cos x \neq 0 $$ Отсюда: $$ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. --- 3) $y = \sqrt{\sin x}$ Арифметический квадратный корень определён для неотрицательных чисел. Функция имеет смысл при условии: $$ \sin x \ge 0 $$ По единичной окружности значения синуса неотрицательны в I и II координатных четвертях: $$ 2\pi k \le x \le \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x \in [2\pi k; \pi + 2\pi k], \quad k \in \mathbb{Z}$. --- 4) $y = \sqrt{\cos x}$ Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $$ \cos x \ge 0 $$ По единичной окружности значения косинуса неотрицательны в I и IV координатных четвертях: $$ -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x \in \left[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right], \quad k \in \mathbb{Z}$. --- 5) $y = \frac{2x}{2\sin x - 1}$ Дробь имеет смысл, если её знаменатель не равен нулю: $$ 2\sin x - 1 \neq 0 $$ $$ \sin x \neq \frac{1}{2} $$ Найдём значения $x$, при которых $\sin x = \frac{1}{2}$: $$ x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ (или $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$). Исключаем эти значения из области определения. Ответ: $x \neq (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$ (то есть $x \neq \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x \neq \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$). --- 6) $y = \frac{\cos x}{2\sin^2 x - \sin x}$ Знаменатель дроби не должен обращаться в ноль: $$ 2\sin^2 x - \sin x \neq 0 $$ Разложим левую часть на множители: $$ \sin x (2\sin x - 1) \neq 0 $$ Произведение не равно нулю, когда ни один из множителей не равен нулю: $$ \begin{cases} \sin x \neq 0, \\ 2\sin x - 1 \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} \sin x \neq 0, \\ \sin x \neq \frac{1}{2} \end{cases} $$ Решим соответствующие уравнения: - $\sin x \neq 0 \implies x \neq \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$; - $\sin x \neq \frac{1}{2} \implies x \neq \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x \neq \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$. Ответ: $x \neq \pi k$, $x \neq \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $x \neq \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.